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1、北师特学校20122013年度第一学期第四次月考理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合，则=（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，所以，选D.2、已知复数，则的虚部为（ ）A、1 B、 C、 D、【答案】A【解析】由得，设，则，所以，解得，所以虚部为1，选A.3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，
2、所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为，选A.4、方程的曲线是 （ ）A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线【答案】C【解析】由得，即，为两条直线，选C.5、已知正项数列中，则等于（A）16 （B）8 （C） （D）4【答案】D【解析】由可知数列是等差数列，且以为首项，公差，所以数列的通项公式为，所以，即。选D.6、已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】D 【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选D.
3、 7、外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由得，所以，即时的中点，所以为外接圆的直径,。则，因为，所以为正三角形，所以，且，所以，选C.8、定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、且，则下列说法错误的是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】由，得，解得或，当时。又，所以，所以 ，所以D错误，选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9、已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为_【答案】4【解析】因为点可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P位于直线时，即，此时点P到直线的距离最大为。10、在中，若
4、，则 【答案】【解析】根据正弦定理可得，即，解得，因为，所以，所以，所以。11、如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则= ； 【答案】【解析】点A在直径BC上的射影E是OC的中点,可得，所以，在中，所以由切割线定理可得。12、已知若的最大值为8，则k=_【答案】【解析】做出的图象。因为的最大值为8，所以此时，说明此时直线经过区域内截距做大的点，即直线也经过点。由，解得，即，代入直线得，。13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为
5、，则的大小关系是_(填，) 【答案】 【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，所以。14、对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 【答案】 【解析】因为，所以，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15、（本小题共13分）已知，（）求的值；（）求函数的值域16、（本小题共13分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。（）求证： () 求证：（）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在
6、，请说明理由。17、（本小题共13分）数列中，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求18、（本小题共13分）已知函数（）.（）求函数的单调区间;(）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。19、（本小题共14分）已知椭圆C：，左焦点，且离心率(）求椭圆C的方程；()若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证：直线过定点,并求出定点的坐标.20、（本小题共14分）在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.参考答案：一、选择题：
7、本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678DAACDDCD二、填空题（每题5分，共30分）9、_4_；10、_；11、_；12、_；13、_；14、_；三、解答题15、（共13分）解：（）因为，且，所以，因为 所以 6分 （）由（）可得 所以 ， 因为，所以，当时，取最大值； 当时，取最小值 所以函数的值域为 13分16、（） , 点E为的中点,连接。的中位线 / 2分又 4分（II） 正方形中, 由已知可得：， .6分, .7分 .8分（）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的
8、空间直角坐标系，则， 9分 设 10分设平面的法向量为则 得 11分取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 12分要使二面角的大小为 而 解得：当=时，二面角的大小为 13分17、解：(1)为常数列，an是以为首项的等差数列，设，,，(2)，令，得当时，；当时，；当时，当时，当时，18解：（I） 2分当 即 f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（, 4分当 ， 即 f(x)的单调递增区间为（,单调递减区间为（0，） 6分（II）得 8分+3 9分 10分 11分12分 即： 13分19解：（）由题意可知： 1分 解得 2分所以椭圆的方程为： 3分（II）证明：由方程组 4分整理
9、得 .5分设则 .6分由已知，且椭圆的右顶点为 7分 8分 即也即 10分整理得： 11分解得均满足 12分当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去13分当时，直线的方程为,过定点 故直线过定点，且定点的坐标为 .14分20、（共14分）（）解：因为是单调递增数列，所以，.令，所以. 4分 （）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以， 因为，所以，使得当时，.因为.所以，当时，与矛盾，故假设不成立.9分（）证明：观察： ，猜想：.用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，成立；当时， 所以. 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.由已知得，.所以.所以当时，. 因为.所以对任意，.对任意，存在，使得，因为数列单调递增，所以，.因为，所以. 14分- 2 -
