《苏教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版)(.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版)(.doc（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量基本定理与坐标运算_1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.4.了解平面向量的基本定理及其意义.一、平面向量基本定理：1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_不共线_不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数1，2使=1+2特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量二、平面向量的坐标表
2、示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、平面向量的坐标运算：（1） 若，则=，= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数
3、，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中 ()的充要条件是 类型一平面向量基本定理的应用【例1】(2012南京质检)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_. 审题视点 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.解析由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量
4、的表示都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1例1 在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.BCAOMD 解题思路：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析
5、：设=m+n，则,点A、M、D共线，与共线，m+2n=1. 而，C、M、B共线，与共线，4m+n=1. 联立解得:m=，n=，练习：1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2BACPNM答案：D 2在ABC中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN与CM交于点P,且,试 用表示.解： AMAB =13, ANAC =14,， ， M、P、C三点共线，故可设，tR , 于是， 同理可设设，sR , 由得 ，由此解得 ， 类型二平面向量的坐标运算【例2】(2011合肥模拟)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.
6、求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,
7、4)解析由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B3 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 答案：(-3,-3) 解：-2=（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-1, -)类型三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,
8、2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练3】 (2011西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D9已知,当实数取何
9、值时,2与24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一实数使2=24）将、的坐标代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得= 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0与不共线， = 1一、选择题1设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1De2和e1e2答案B解析4e26e12(3e12e2)，3e12e2与4e26e1共线，不能作为基底2下面给出了三个命题：非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数1、2，使得1a2b
10、；平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示其中正确命题的个数是()A0B1C2D3答案B解析命题两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示故都不正确3给出下列结论：若ab，则|ab|0；对任意向量a、b，|ab|0；若非零向量a、b共线且反向，则|ab|a|.其中正确的有()个()A1B2C3D4答案B解析中有一个为零向量时不成立；中a，b若是相反向量则不成立；、正确，故选B.4已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(xy)e1(2xy)e26e13e2，则xy的值等于()A3B3C6D6答案C解析e1、e2不共线，由平面向量基本
11、定理可得，解得.5设一直线上三点A，B，P满足(1)，O为平面内任意一点，则用、表示为()AB(1)CD答案C解析()，(1)，.6(2014广东文，3)已知向量a(1,2)、b(3,1)，则ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)答案B解析a(1,2)、b(3,1)，ba(31,12)(2，1)7若向量(2,3)、(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)答案A解析(2,3)(4,7)(2，4)8(2014北京文，3)已知向量a(2,4)、b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)答案A解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)9已知(5，3)、C(1,3)、2，则点D的坐标是()A(11,9)B(4,0)C(9,3)D(9，3)答案D解析(5，3)，2(10，6)，设D(x，y)，又C(1,3)，(x1，y3)，.10已知ABC中，点A(2,3)、点B(3，5)，重心M(1，2)，则点C的坐标为()A(4,8)BC(8，4)D(7，2)答案C解析设点C的坐标为(x，y)，由重心坐标公式，得，解得.11已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(x2x1)i(x2x1)j(其中xR)，则点A位于()A第一、二象限B第二、三象限
