《《复变函数的积分》word版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复变函数的积分》word版.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 复变函数的积分31 基本要求与内容提要311基本要求1正确理解复变函数积分的概念.2掌握复变函数积分的一般计算法.3掌握并能运用柯西古萨基本定理和牛顿莱布尼茨公式来计算积分.4掌握复合闭路定理并能运用其运算积分.5掌握并能熟练运用柯西积分公式.6掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分.312 内容提要复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都是通过复积分证明的.1 复积分的定义与计算定义3.1 设是平面上一条光滑的简单曲线.其起点为终点为（图3.1），函数在上定义，把曲线任意分成年个小弧段.设分点为 ,其中，每个弧
2、段上任取一点，作和式 (3.1)其中 . 设 ， 当 时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于 的选择，也不依赖对的分法，那么就称此极限值为沿曲线自到的复积分，记作 (3.2)沿负方向（即由到）的积分记作 ；当 为闭曲线，那么此闭曲线的积分就记作（的正向为逆时针方向）.定理3.1设在光滑曲线上连续，则复积分存在，而且可以表示为 (3.3)注1 当是连续函数而是光滑曲线时，积分一定存在注2 可以通过两个二元函数的线积分来计算注3 设 ，则2 复积分的基本性质（1）其中为复常数;（2）（3）（4）其中C=（5） (3.4)3.柯西积分定理定理3.2 (柯西定理) 设函数在单连通区域内解析,则在内
3、沿任意一条简单的闭曲线的积分 注:若C是区域的边界，f(z)在内解析，在闭区域上连续，那么定理依然成立，这时也称该定理为柯西古萨定理.定理3.3 设函数f(z)在单连通区域内解析， 与为内任意两点，与为连结与积分路线，,都含于（图3.2），则 即当f为的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点与终点来确定.下面把柯西定理推广到多连通区域.定理3.4 设与是两条简单闭曲线，在的内部,f(z)在与所围的二连域内解析，而在上连续，则 (3.5)式(3.5)说明，在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一事实，称为闭路变形原理推论（复合闭路定理）设为多连
4、通域D内的一条简单闭曲线， 是在内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不想交，并且以 C， 为边界的区域全含于 (图3.4).如果在内解析，则有 (3.6) 其中及均取正方向； 这里 为由及(k=1,2.,n)所组成的复合闭路（其方向是：按逆时针进行，按顺时针进行）定理3.5 如果 F(z) 是单连通区域D内的解析函数，那么，由变上限的积分所确定的函数 F(z)=也是D内的解析函数，而且基于定理3.5，我们引入原函数的概念.定义3.2 设在单连通区域内，函数F(z)恒满足条件，则称F(z)是f(z)的原函数.容易证明，若G(z)是f(z)的一个原函数，则对任意常数C，G(z)+C都是f(z)的原函
5、数；而f(z)的任一原函数必可表示为G(z)+C，其中C是某一常数，得用这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的积分计算公式.定理3.6 设f(z)在单连域内解析G(z)为f(z)的一个原函数，则 (3.7)其中，为内的点.定理3.7 柯西积分公式 设f(z)在简单闭曲线所围成的区域内解析，在上连续是内任一点，则 f()=推论1（平均积分公式）设在简单闭曲线内解析.在连续，则 推论2 设f(z)在简单闭曲线所围成的二连域D内解析，并在上连续，在的内部, 为内一点，则 (3.8)我们可以把作变数看待，(3.8)式写如下形式： f(z)=其中z在C的内部定理3.8（最大模原理）设函
6、数f(z)在区域D内解析，又f(z)不是常数，则在D内|f(z)|没有最大值.推论1 在域D内解析的函数，若其模D的内点达到最大值，则此函数必恒为常数.推论2 若f(z)在有界域D内解析，在上连续，则|f(z)|必在的边界D上达到最大模.、定理3.9（高阶导数公式）设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，而在=上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点，有 (n=1,2) (3.9)3.2,典型例题与解题方法例，计算积分 , 其中 C 为；（1） 连接O到1+ i的直线段；（2） 抛物线 y= 上由O到1+i 的弧段；（3） 连接O到1再到1+ i 的折线，如图3.6.
7、解 （1）积分路径的参数方程为z(t)=t+it(0)，于是 Re z=t,dz=(1+i)dt ，因此. （2） 积分路径的参数方程为 z(t) =t+i(0) 于是Re z=t,dz=(1+2it)dt ，因此， =（3）积分路径由两条直线段构成，由x轴上O到1的线段其参数方程为z=t(0)，此时Re z=t,dz=dt；由1到1+i的线段的参数为z=1+it(0)，此时dz=idt,Rez=1，因此. =注：此积分与积分路径有关.例2 已知f(z)=，计算 其中：沿实轴从1到0，再沿虚轴由0到i；：沿x+y=1从1到i，解 令=+，其中 :z(t)=1-t,0,dz=-dt;:z(t)=
8、it, 0.dz=idt从而得 而:z(t)=t+(1-t)i，0,dz=(1-i)dt，所以=(1i)(-)=例2中的两个积分具有相同的被积函数，以及积分曲线的起点，终点，尽管积分曲线的路径各不相同，但积分结果却相同，这说明有些函数的积分值可能与路径无关.例3，已知f(z)=，n是整数，求的值，其中C为以a为中心r为半径的圆周.解 圆周C可表为 z=a+r,由此 dz=ri所以 当n=-1时， 当n时，注意：此积分值与圆周半径无关.例6 求积分的值，其中积分路径C是连接0到的摆线：x=a(-sina),y=a(1-cos)分析 若用复积分公式求积分的值，则应先写出C的参数方程:z=z()=a
9、(-sin)+ia(1-cos)确定起点参数=0，终点参数=2，然后用公式:，计算定积分即可，但是，只要注意到被积函数f+8z+1在复平面内处处解析，积分与路径无关，我们可用复积分的牛顿莱布尼茨公式做简单计算. 解 例7计算积分，其中C为正向圆周|z|=a0解，=显然函数在复平面内处处解析，由柯西积分定理，而，故.=0注：此题若用复积分计算公式求积分值，则运算十分复杂，甚至得不到结果例8 C为连结点0与点1+I的直线段，试证： 证明，C:z(t)=(1+i)t,由于在C上时，上式取得最小值，所以在上、 |z-i|=|t+(t-1)i|又 于是由积分性质(3.4)，即得 例9计算积分 的值，其中
10、C：|z|=2解 因f(z)=2-z+1z在|z|2上解析z=1|z|2，由柯西积分公式，得， 例10计算积分，其中 例12计算积分， 解一：在积分闭路内有三个奇点z=0，z=1，z=-1利用部分公式分成三个积分之和，再应用柯西积分公式求解.因 所以 解二：在|z|=3内作三条简单闭曲线，和（如图3.11）分别包围0，1和-1，但，和，互不包含互不相交，根据复合闭路定理，有 例13计算积分 解 在得分闭路内有两个奇点z=和z=2.为此，在|z-2|=2内作两条简单闭曲线互不包含且互不相交（如图3.12），根据复合闭路定理，有例14计算积分，C：|z-2i|=2.解被积函数有两个奇点:z=3i，
11、z=-3i但只有3i在积分闭路内(如图3.13) 注：柯西积分公式与解析函数的高阶导数公式变函数中的两个十分重要的公式，它们不仅在理论上有意义，也是计算积分的有力工具，使用柯西积分公式时，如果在简单闭曲线内有一个以上奇点，可以将被积函数分解为部分分式后再用柯西公式；如果只有一个奇点，可以直接用柯西公式，同时也可以在确定被积函数在闭曲线内的奇点后，用复合闭路定理求积分.例15设C表示圆周解 令，则它在z平面上解析，由柯西积分公式，在|z|内 所以 而点故 例17计算积分，其中（1）C：|z-3|=2 （2）C：|z-1|=3解（1）函数有两个奇点z=2和z=0，只有z=2在积分闭路内，取，在内.
12、取，在内解析，利用高阶导数公式，有 （2）被积函数的两面个奇点z=2和z=0都在C内，作简单闭曲线分别包围0和2，但互不包含且互不相交，根据复合闭路定理和高阶导数公式， 例18计算积分，其中（1） C是圆心在z=1，半径R2的圆周；（2） C是圆心在z=-1，半径R2的圆周（3） C是圆心在Z=1或z=-1，半径R2的圆周解（1）内只有一个奇点z=1，所以= （2）C内只有一个奇点z=-1，所以 = （3）C内有两个奇点z=1，z=-1作简单闭曲线分别包围点1,-1且使互不包含，互不相交，利用复合闭路定理和(1),(2)小题的结果有 例19求积分的值，其中C为|z|=r,r解（1）当0r1时，设f(z)=那么f(z)在C内解析，所以， 而 所以 I=（2）当1R2时，作圆，如图，这时
