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1、概率计算知识网络重难突破知识点一 利用列举法求概率 方法一:直接列举法求概率 当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 典例1（2018贵州中考真题）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（）AaB110C16D25【答案】A【详解】如图所示，共有12种情况，恰好摆放成如图所示位置的只有1种，所以概率是，故选A典例2（2018河东区期末）将号码分别为1，2，3，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙
2、再摸出一个球，号码为b，则使不等式a-2b+100成立的事件发生的概率为（ ）A5281B5981C6081D6181【答案】D【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有99=81种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+100成立的，即2b-a10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果共有45+7+5+3+1=61种结果，所求的概率是6181，故选D典例3 （2017莒南县期末）将一颗骰子（正方体）连掷两次，得到的点数都是4的概率是
3、（ ）AB14C116D【答案】D【解析】连掷两次骰子出现的点数情况，共36种：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）.而点数都是4的只有（4，4）一种，所以得到的点数都是4的概率是136，故选D.典例4 （
4、2017西安市期末）有长度分别为3，5，7，9的四条线段，从中任取三条线段能够组成三角形的概率是（ ）A13B12C23D34【答案】D【解析】解：从4条线段中任意取3条，共有3，5，7；3，7，9；3，5，9；5，7，9四种可能，每种可能出现的机会相同，而其中满足两边之和大于第三边构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9三种可能，所以从中任取三条线段能够组成三角形的概率是34，故选D典例5 （2018河东区期末）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )A12B14C35D23【答案】D【详解】解：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，2
5、43，324，342，423，432；排出的数是偶数的有：234、324、342、432；排出的数是偶数的概率为：46=23.方法二:列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 典例1（2018广西中考真题）从2，1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（）A23B12C13D14【答案】C【详解】列表如下：积212224122242由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，所以积为正数的概率为26=13，故选C典例2（2018山东中考真题）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，
6、小亮恰好站在中间的概率是（ ）A12B13C23D16【答案】B【解析】详解: 列表如下：，共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，所以小亮恰好站在中间的概率=13故选：B.典例3（2018辽宁中考真题）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A13B49C12D59【答案】D【详解】列表得：所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为59，故选：D典例4（201
7、9山东中考真题）从1、2、3、6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点m,n在函数y=6x图象的概率是（ ）A12B13C14D18【答案】B【详解】点m,n在函数y=6x的图象上，mn=6列表如下：m111222333666n236136126123mn2362612361861218典例5（2017河南中考真题）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）ABCD【答案】C【详解】列表得，120-11（1，
8、1）（1，2）（1，0）（1，-1）2（2，1）（2，2）（2，0）（2，-1）0（0，1）（0，2）（0，0）（0，-1）-1（-1，1）（-1，2）（-1，0）（-1，-1）由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为416=14，故选C.方法三：树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 典例1（2018山西中考真题）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球两次都摸到黄
9、球的概率是（）A49 B13 C29D19 【答案】A【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，两次都摸到黄球的概率为49，故选A典例2（2018河南中考真题）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（）A916B34C38D12【答案】D【解析】详解：令3张用A1，A2，A3，表示，用B表示，画树状图为：，一共有12种可能的情况，其中两张卡片正面图案相同的有6种情况，故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是
10、：12故选：D典例3（2018湖北中考真题）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A14B12C34D56【答案】C【详解】画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=，故选C典例4（2018河南中考模拟）一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（）A23B13C14D49【答案】D【详解
11、】画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是黄球的情况为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为49故选D.典例5（2018四川中考模拟）从1，2，3，6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y图象上的概率是（）AB13C19D16【答案】B【详解】画树状图得：共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y=6x图象上的有：（2，3），（1，6），（3，2），（6，1），点（m，n）在函数y=6x图象上的概率是：412 =13故选：B知识点二 利用频率估计概率 实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率 ，虽然
12、不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.典例1（2018吉林省中考）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）A6B16C18D24【答案】B【解析】摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，摸到白球的频率为1-15%-45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是4040%=16个故选A典例2（2018青岛市开发区期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球
13、倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球( )A28个B32个C36个D40个【答案】B【详解】设盒中有白球x个，根据题意得：，解得：x=32，经检验，x=32是方程的根，所以盒中有32个白球.故选B典例3（2018浙江中考真题）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）A12B13C310D15【答案】D【解析】详解: 根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=210=15.故
14、答案为：D典例4（2018上虞市月考）如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）ABCD【答案】A【解析】试题分析：A如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；B如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；C如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；D如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：故选A典例5（2018和平区模拟）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A12B9C4
