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一道不等式竞赛题的多种解法唐 作 明（永州市教育科学研究院）不等式对于一切正数恒成立则实数的最小值为（第17届“希望杯”全国数学邀请赛)一、几种解法1分离参数法解:原不等式可化为：令，则有而，当且仅当时，取等号则，故所以，的最小值为22三角换元法解：令，则可设，其中原不等式可化为:，即令，(其中)显然，所以的最小值为23基本不等式法解：原不等式可化为：因为，不等式可化为,即有令，则有显然，只有当时，所以，解得,故的最小值为24构造函数法解：原不等式可化为：，不等式可化为令,当时，要使恒成立若，显然不合题意；若,则或（无解）当时，解得故的最小值为2二、推广及证明推广:不等式对于一切正数恒成立则实数证法一:令，则可设，其中原不等式可化为:，即令(等号显然可以成立）所以,证法二:原不等式可化为令，则,当，且时，即时,所以，三、两道变式题的解法设，满足,求（浙江省高中数学夏令营)解：由于，所以,同理可得故于是，即2已知，若恒成立，则的取值范围是解法一:构造，使则原不等式可化为即而（当且仅当时,取等号）故解法二:令，则有而(当且仅当时，即取等号）注:本文发表在数学竞赛之窗.1
