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1、?圆?全章复习及稳固知识讲解提高【学习目标】1理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点及圆、直线及圆、圆及圆的位置关系，探索并掌握圆周角及圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2了解切线的概念，探索并掌握切线及过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，开展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学
2、习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及及圆有关的角1圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线.2圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别
3、相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等.要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.注意：“过圆心、平分弦作为题设时，平分的弦不能是直径3两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的
4、连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4及圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成
5、立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、及圆有关的位置关系1判定一个点P是否在O上设O的半径为，OP=，那么有点P在O 外；点P在O 上；点P在O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2判定几个点在同一个圆上的方法当时，在O 上.3直线和圆的位置关系设O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和O有唯一公共点直线和O相切.(3)直线和O有两个公共点直线和O相交.4切线的判定、性质(1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距
6、离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 .(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)
7、和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆及内切圆、圆内接四边形及外切四边形1三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1
8、) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长及内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心及内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.2圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫
9、圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉
10、及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它及三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的根底知识1. 如图，O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB=45,点在数轴上运动，假设过点P且及OA平行或重合的直线及O有公共点, 设OP=x，那么的取值范围是 .A11 B C0 D 【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P，使其及O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得OQP=90，OAPQ，OPQ=AOB=45，OQP为等腰直角三角形，在R
11、tOQP中，OQ=1，OP=，当过点P且及OA平行的直线及O有公共点时，0OP，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果一样故答案为：0OP【点评】此题考察了直线及圆的位置关系问题关键是通过平移，确定直线及圆相切的情况，求出此时OP的值举一反三：【变式】如图，O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，AOB=45，点P在数轴上运动，假设过点P且及OB平行的直线于O有公共点，设Px，0，那么x的取值范围是.A-1x0或0x1 B0x1 C-x0或0x Dx1【答案】O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，AOB=45，过点P且及OB平行的直线及O相切时，假设切点为D，OD=DP=1，OP=，0OP，
12、同理可得，当OP及x轴负半轴相交时，-OP0，-OP0，或0OP应选C类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2如下图，在O中，AB是O的直径，弦CGAB于D，F是O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CEBE【答案及解析】 证法一：如图(1)，连接BC， AB是O的直径，弦CGAB， ， CCBE CEBE证法二：如图(2)，作ONBF，垂足为N，连接OE AB是O的直径，且ABCG， ， BFCG，ONOD ONEODE90，OEOE，ONOD， ONEODE， NEDE BNCD， BN-ENCD-ED， BECE 证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N ， OCBF AB是O的
13、直径，CGAB， OCOB， OC-ONOB-OD，即CNBD又CNEBDE90，CENBED， CNEBDE， CEBE【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论在平时多进展一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法举一反三：【变式】如下图，在O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,A=B=60,那么BC的长为 A19 B16 C18 D20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OEBC于E.那么三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在RtODE中，ODE=60，DOE=30,那么DE=OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 应选D类型三、及圆有关的位置关系3一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.翻开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图1所示.经测量，一支香烟的直径约为，长约为. 1试计算烟盒顶盖ABCD的面积本小题计算结果不取近似值； 2制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张不计重叠粘合的局部，计算结果
