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1、学案2命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义自主梳理1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(pq)；逆命题：若q则p(qp)；否命题：若p则q(pq)；逆否命题：若q则p(qp)(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假
2、性两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件4利用集合的观点，看充要条件：设集合，若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；自我检测1(2012南通调研)命题“若实数a满足a2，则a24”的否命题是_命题(填“真”或“假”)解析否命题为“若实数a满足a2，则a24”，是真命题答案真 2已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件答案充分而不必要解析a3时A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.所以a3是A
3、B的充分而不必要条件3(2011南京模拟)设集合A，Bx|0x3，那么“mA”是“mB”的_条件答案充分不必要解析Ax|0x1，Bx|0x1，则mx22(m1)xm30的解集为R”的逆命题其中真命题是_(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案解析原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确又因为不等式mx22(m1)xm30的解集为R，由m1.故正确探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)当c0时，若ab，则acbc(2)实数的平方是非负数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；解题导引给出一个命题，判断其
4、逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定解(2)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题变式迁移1有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”
5、的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的序号为_答案解析的逆命题是“若x，y互为相反数，则xy0”，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；若q1，则44q0，所以x22xq0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方程x2xm0无实根(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等解(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0x
6、20.p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相似p是q的必要不充分条件(3)m2方程x2xm0无实根；方程x2xm0无实根m2.p是q的充分不必要条件(4)矩形的对角线相等，pq；而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp.p是q的充分不必要条件变式迁移2下列各小题中，p是q的充要条件的是_(填序号)p：m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；已知x、yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(x2)0.答案解析q：yx2mxm3有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m6p；当f(x)0时，由qp；.故符合题意探
7、究点三充分、必要条件的应用例3已知p：，q：x|1mx1m，m0(1)若m1，则p是q的什么条件？(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围思维启迪问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；问题(2)考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m的取值范围解(1)因为p：x|2x10，q：x|1mx1m，m0x|0x2，显然x|0x2x|2x10，所以p是q的必要不充分条件(2)由(1)，知p：x|2x10，因为p是q的充分不必要条件，所以解得m9，即m9，)变式： (2012山东济南3月模
8、拟)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围解：由|4x3|1，解得x1，由x2(2a1)xa(a1)0得(xa)(xa1)0，即axa1，若非p是非q的必要而不充分条件，则q是p的必要而不充分条件，所以有即所以0a.一、填空题1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_答案若一个数的平方是正数，则它是负数解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数2已知集合Mx|0x1，集合Nx|2x1，那么“aN”是“aM”的_条件答案必要而不充分解析因为MN，所以aMaN，反之，则不成立，故“aN”是“aM”的必要
9、而不充分条件3设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的_条件答案必要不充分解析复数aabi为纯虚数，则a0，b0，而ab0表示a0或b0，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件4(2010徐州模拟)关于命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为_答案1解析对于原命题：“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上因此否
10、命题也是假命题5(2011扬州模拟)集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的_条件答案必要不充分解析Ax|4x4，若AB，则a4，a4a5，但a5a4.6若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_答案3,0解析ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得，解得3ab，则am2bm2；在ABC中，若sin Asin B，则AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_答案3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得m8.故实数m的取值范围是
11、3m8.二、解答题9分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若q1，则方程x22xq0有实根；(2)若ab0，则a0或b0；(3)若x2y20，则x、y全为零解(1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，为假命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，为假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，为真命题(4分)(2)逆命题：若a0或b0，则ab0，为真命题否命题：若ab0，则a0且b0，为真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0，为真命题(8分)(3)逆命题：若x、y全为零，则x2y20，为真命题否命题：若x2y20，则x、y不全为零，为真命题逆否命题：若x、y不全为零，则x2y20，为真命题(12分)10(2011连云港模拟)设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围解设Ax|px|x24ax3a20，a
