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1、椭圆典例剖析知识点一椭圆定义的应用如图所示，已知椭圆1(ab0)内一点A，F1为左焦点，在椭圆上求一点P，使|PF1|PA|取得最值解设F2为椭圆的右焦点，且直线AF2与椭圆相交于P1、P2两点，点M是不同于点P1、P2的椭圆上的任意一点根据椭圆的定义知：|P1F1|+|P1F2|=2a，所以| P1F1|+|P1A|=| P1F1|+| P1F2|+|F2A|=2a+|F2A|.在AMF2中 ，|MA|MF2|F2A|.所以|MF1|MA|MF1|MF2|F2A|.因为M是椭圆上任意一点，所以|MF1|MF2|2a，所以|MF1|MA|2a|F2A|.由式、知|MF1|MA|MF2|F2A|
2、，所以|MF1|MA|MF1|MF2|F2A|2a|F2A|，所以|MF1|MA|P2F1|P2A|.由以上可知，点P1是使|PF1|PA|取得最大值的点，而点P2是使|PF1|PA|取得最小值的点知识点二求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)(2)经过点A(，)，B(0，)(1)解方法一椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)由椭圆定义知：2a10，所以a5.又c4，所以b2a2c225169.故椭圆标准方程为1.方法二设椭圆的标准方程为1(ab0)，因为c4，所以a2b2c216.又椭圆经过点(5,0)
3、，所以1，所以a225，所以b225169，所以椭圆的标准方程为1.(2)方法一当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为1(ab0)，依题意有解得又因为ab，所以该方程组无解当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为1(ab0)依题意有解得所以方程为1.综上知，所求椭圆的标准方程为：1.方法二设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，即其标准方程为1.知识点三根据方程研究几何性质求椭圆25x216y2400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标解将方程变形为1，得a5，b4，所以c3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a10,2b8，离心率e，焦点坐
4、标为(0，3)，(0,3)，顶点坐标为(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)知识点四根据几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是.(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，a3.e，c2.b2a2c2945.椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程为 (ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，c=b=3，a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为,知识点五求椭圆的离心率如图所示，F1，F2分别为椭
5、圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解方法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1 (c,0)，F2 (c,0)，M点的坐标为(c， b)，则MF1F2为直角三角形在RtM F1F2中：|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2，即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+| MF2|= 整理得3c2=3a2 2 ab.又c2=a2 b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知识点六直线与椭圆的位置关系问题当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离解由题意，得代入，得9x216(xm)21
6、44，化简，整理，得25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214 400.当0时，得m5，直线l与椭圆相切0时，得5m5，直线l与椭圆相交当0时，得m5，直线l与椭圆相离知识点七中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求l的方程解设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得kAB.l的方程为：y2(x4)，即x2y80.考题赏析1(江西高考)设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C
7、必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xxb0)的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析|AF1|，故有tan602c(2ac)23(a2c2)2解得e.5设椭圆1的离心率为，则m的值是()A3 B.C.或3 D2或答案C解析当m4时，此时有，所以m；当0m4时，所以m3.6直线yx与椭圆1(ab0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为_答案解析当xc时，y，c即ce2e10，解得e.7
8、倾斜角为的直线交椭圆y21于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是_答案x4y0(x0，得b，故xb0)，椭圆过点A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，b3,2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为y21或1.(2)由已知从而b29所求椭圆的标准方程为1或1.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入上述方程得，解得，椭圆的标准方程为1.(4)由题意，设所求椭圆的方程为t(t0)，因为椭圆过点(2，)，所以t2，故所求椭圆标准方程为1.10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当ABx轴时，|AB|.
