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1、第一章 函数、极限与连续一、作业题1求下列函数的定义域（1） （2）解： 解： 定义域 定义域2设，求和。解： 3求下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） 时， 故原极限4设 在处连续，求的值。解： 因在处连续，故二、练习题1填空（1）表示的集合为；答案：（2）设函数的定义域是，则函数的定义域为；答案：（3）函数的奇偶性为；答案：奇（4）的反函数是；答案：（5）若一个数列，当时，无限接近于某一个常数，则称为数列的极限；答案：趋于（6）已知，则；答案：（7）若，则；答案：（8）；答案：（9）；答案：（10）函数在处的极限为；答案：（11）当时，要使与为等价无穷小量，则；答案：（1
2、2）当时，是的阶无穷小；答案：高 （13）函数的间断点为，分别为第类间断点和第类间断点；答案： ； 一 ； 二（14）函数的连续区间是，；答案：，（15）设 在处连续，则常数与满足的关系是；答案：（16）设，则在上的最大值为；最小值为。答案：；2选择（1）下列各对函数中，为相同函数的是（ D ）A BC D（2）设，且，则是（ ）A有界函数 B周期函数C单调增加函数 D单调减少函数（3）设的定义域为(-,+)，则是（ ）A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 以上答案均不对（4）设 都是偶函数，且它们的定义域、值域均为，则（ ）A. 与都是偶函数B. 与都是奇函数C. 与都是非奇非偶函
3、数D. 是偶函数，是非奇非偶函数（5）函数与其反函数在同一坐标系中的图像是（ ）A. 完全不同 B. 部分相同，部分不同C. 完全相同 D. 可能相同，也可能不同（6）设，且，则与（ ） A.都收敛于 B.都收敛但不一定收敛于 C.可能收敛，可能发散 D.都发散（7）若函数在某点极限存在，则（ ）A. 在的函数值必存在且等于极限值B. 在的函数值必存在，但不一定等于极限值C. 在的函数值可以不存在D. 如果在的函数值存在的话必等于极限值（8）（ ）A. B. 不存在 C. D. （9）无穷多个无穷小量之和（ ）A. 必是无穷小量 B. 必是无穷大量 C. 必是有界量 D. 是无穷小量，或是无穷
4、大量，或是有界量，都可能（10）当时，变量（ ）是无穷小量 A. B. C. D. （11）当时，下列函数中哪一个是其他3个的高阶无穷小（ ）A. B. C. D. （12）是的（ ）A. 连续点 B. 跳跃间断点C. 可去间断点 D. 无穷间断点（13）设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则（ ）A. 必有间断点 B. 必有间断点C. 必有间断点 D. 必有间断点（14）设，则（ ）A. B. C. D.均不对（15），其中，则必有（ ）A. B. C. D. 3判断（1）若在内无界，则在内也无界（ ）（2）若一个函数不是奇函数，则必为偶函数（ ）（3）是初等函数（ 此题删掉 ）（4）
5、区间、的长度都是（ ）（5）若函数在处有极限，则在必连续（ ）（6）若函数在处连续，则在必有极限（ ）（7）若连续，则连续（ ）（8）在内的连续函数，若，则在内，方程必有实根（ ）4下列函数是由哪些简单函数复合而成？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 5 若为奇函数，判断函数的奇偶性。解： 为奇函数，又为奇函数，为偶函数。6计算下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6） 由于 故原极限不存在（7） （8） 原极限 原极限（9） （10） 故原极限 （11） （12） 故原极限 （13） （14） 由于 故原极限不存在（15） （16） 故原极限（17）
6、（18） 故原极限7讨论在时的极限。解： 故不存在8求下列函数的间断点，并说明间断点的类型。（1）解：间断点： ，由于，故为第一类间断点且为可去间断点；由于，故为第二类间断点。（2）解：间断点：，由于，因此，故为第一类间断点且为跳跃间断点；由于，故为第二类间断点。9讨论函数 在处的极限存在条件和连续条件。解：，若存在，则；若连续，则有10已知（有限值），试求、。解：由题意知 时，即 11证明方程在内至少有一个实根。证：令，在上连续；，由根的存在定理，至少存在一点，使，得证。12用水费用：某城市为节约用水，制定了如下收费方法：每户每月用水量不超过4.5 t时，水费按0.64元/t 计算，超过部分
7、每吨以5倍价格收费，试建立每月用水费用与用水数量之间的函数模型，并计算每月用水量分别为3.5 t 、4.5 t 、5.5 t 、9 t时的用水费用。解：设每月用水费用为元，每月用水数量为吨，则，13保本分析：某公司每天要支付一笔固定费用300元（用于房租与薪水等），它所出售的食品的生产费用为1元/kg，而销售价格为2元/kg，试问它们的保本点为多少？即每天应当销售多少千克食品才能使公司的收支平衡？解：设每天应当销售千克食品才能使公司的收支平衡，成本函数为收入函数为令，即，解得14要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为元，试将总造价表
8、示为底半径的函数。解：设池底半径为x，总造价为y三、提高题1设，求，并讨论的奇偶性和有界性。解： 同理，易见为奇函数。，为有界函数。2计算下列极限（1）解：令，两边取对数得，等价于，上式原式（2）解：原极限（3）解：原极限，为有界函数，原式（4）设，求。解：3是否存在一个数，它比它的立方大？解：设，由零点定理，存在使得，即，。4我们都有这样的经验：在一块相对平坦的地面上，四条腿的方桌可以通过调整其位置与方向将它放稳，试查阅资料并用你学过的知识解释这种现象。解：以ABCD表示椅子的四个脚，对角线AC与BD构成两个相交的垂直线，交点位于椅子中心。以对角线AC做轴，BD做轴，交点作坐标原点，建立直角坐标系。BCADEFGH假定椅子绕轴旋转度，正方形ABCD旋转至。与AC的夹角即为。表示A、C两脚的离地距离之和，表示B、D两脚的离地距离之和。假设椅子在任何位置至少三只脚着地，且、至少由一个为零，当二者全部为零时，则表示四只脚全部着地。本题可描述为：已知，是的连续函数，对任意的，且，证明存在使得。证明：将椅子首先旋转90度，即，则对角线AC和BD交换位置，由已知条件有。令，则是的连续函数，且由连续函数的性质，一定存在，使得。证毕。8
