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1、热力学.统计物理课程阶段测试题一、第二章测试题及解答1已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加.解：由题意得：因V不变,T、p升高,故k(V)0据麦氏关系(2.2.3)式得: = =(V) (k(V)0)由于k(V)0, 当V升高时(或V0V,VV0),于是T不变时,S随V的升高而升高.2求证:() 0解证: 由式(2.1.2) 等H过程: （）H=-0; T0)由基本方程 ;（）U=0.3 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 提示:证明-0解证：联立（1），（2）式得：-=据：
2、 熵不变时，（dS=0）, =-= 原题得证4 实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能U都只是温度的函数, 即pv=f(T); U=U(T) 试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：由式（2.2.7）及=0=；=p即：；5 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.解证：范氏气体由式(2.2.7) =T-p=T= ；与v无关。二、第三章测试题及解答1 试证明，相变潜热随温度的变化率为-如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为：证明：显然属于一级相变; ; 其中，在pT相平衡曲线上.其中：又有：；由麦氏关系(2.2.4): 上几式联立(并将一级相变的克拉伯
3、珑方程代入)得：-若相是气相，相是凝聚相；0；0；相按理想气体处理。pV=RT2蒸汽与液相达到平衡。以表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为解：由式(3.4.6)克拉珀珑方程。并注意到0.方程近似为 ， V气相摩尔比容。 气相作理想气体。pV=RT 联立式，并消去p;P得：；3 将范氏气体在不同的温度下的等温线的极大点N与极小点J联起来，可以得到一条曲线NCJ,如图3.17所示。试证明这条曲线的方程为并说明这条曲线分出来的三条区域的含义。解证：范氏气体：； 等温线上极值点极值点组成的曲线：；由4 证明爱伦费斯公式：证明：对二级相变 ；即-=0 ；即-=
4、0 -; 将代入得。 由式(3.2.6)得：； 结合式(3.7.2)即为：代入得：类似地，利用可证第二式三、第四章测试题及解答1 理想溶液中各组元的化学势为：(1) 假设溶质是非挥发性的。试证明，当溶液与溶剂的蒸发达到平衡时，相平衡条件为其中是蒸汽的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数。(2) 求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为(3) 将上式积分，得其中p0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸汽压。该公式称为拉乌定律。解：(1) 设“1”为溶剂,(2)由 ；v蒸汽相摩尔热容 v凝聚相摩尔热容 故有v-vv,又有pv=
5、RT代入 积分(2)式得拉乌定律2 绝热容器中有隔板隔开，一边装有n1 mol的理想气体，温度为T，压强为P1；另一边装有n2 mol的理想气体，温度为T，压强为P2。今将隔板抽去，（1） 试求气体混合后的压强；（2） 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变；（3） 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。解：（1）（2）根据 （3）如果两种气体是相同的，混合后的熵变 3试证明，在NH3分解为N2和H2的反应中平衡常量可表为 如果反应方程写作 平衡常量如何？证明：设NH3原来有n0 mol, 分解了n0 mol，未分解(1-)n0 mol, 生成 mol N2和 mol H2，共有摩尔数(1+
6、)n0 平衡常量如果反应方程写作 设NH3原来有2n0 mol, 分解了2n0 mol，未分解2(1-)n0 mol, 生成 mol N2和 mol H2，共有摩尔数2(1+)n0 平衡常量4 n0v1 mol 的气体A1和n0v2 mol 的气体A2的混合物在温度T和压强p下所占体积为V0, 当发生化学变化并在同样的温度和压强下达到平衡时，其体积为Ve。试证明反应度为证明：未发生化学变化时，有 （4.10.1） 当发生化学变化时，原来有n0v1 mol 的气体A1，反应了n0v1 mol，未反应(1-) n0v1 mol, n0v2 mol 的气体A2，反应了n0v2 mol，未反应(1-)
7、 n0v2 mol, 生成n0v3 mol A3和n0v4 mol A4，有 (4.10.2) 由式（4.10.1）比式（4.10.2）可得 (4.10.3) 解(4.10.3)式得 5根据第三定律证明，在T0时。表面张力系数与温度无关。即.解证：表面膜系统。 ; ;而实际上与A无关，即T0时，根据热力学第三定律；于是得：；原式得证。四、第六章测试题及解答1 试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到的能量范围内，量子态数为：证明：一维自由粒子，附近的量子态为；于是。而 Px对应同一能量，于是：2 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨
8、，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为 和 其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证： 粒子A能级，粒子数分布：al简并度 粒子B能级，粒子数分布：al简并度 由 即使最大， 达到最大。 （注：与在此情况下独立） 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证明 同一，原题得证。这也是满足热平衡的要求。3 根据玻色系统的微观状态数 ,在,和的条件下,导出玻色分布.解：对玻色系统，若粒子总数和总能量为常数，则有约束条件 ， .由拉格朗日未定乘子法,可对微观状态数的对数求有约束条件的变分极值,从而得到最可几分布,即 .其中,和为未定
9、乘子,分别由两个约束条件为常数来确定.应用斯特林公式,有 ,则 ,由于所有的独立,所以 ,整理可得 ,即欲求的玻色分布.五、第七章测试题及解答1当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为，以表示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。 解证：配分函数. 以内能U为例，对Z1: 对Z1*:2 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，,对粒子的所有量子态求和。证明：出现某状态几率为Ps 设S1,S2,Sk状态对应的能级 设Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级 类似则出现某微观状态的几
10、率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ；显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，。于是代表处于S状态下的粒子数。例如，对于能级个粒子在上的K个微观状态的概率为： 类似写出：等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。一微观状态数 ，（基于等概率原理）将带入3 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N 表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时n(设nN )其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。解证：,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量
11、；,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数 ;利用利用自由能判据 。4气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为 解证：设能级这样构成：同一中，P相同，而P与P在变化，于是有： ()参照教材玻耳兹曼分布证明;有 -,其中由(1)知: 将代入 并配方得: = 其中对比page238式（7.2.4）得： 于是，整个体积内，分布在 内分子数为： 由条件（3）知计算得 = =代入得出分布： 其中,5 气柱的高度为，截面为，在重力场中。试证明此气柱的内能和热容量解证：配分函数 设 6 试求双原子理想气体的振动熵解证：振动配分函数 代入式（7.6.1） 代入熵计算式六、第八章测试题及解答1在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为,其中为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和
