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1、高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1)(x, y)|x0, y0; 解 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为 (x, y)|x=0或y=0. (2)(x, y)|1x2; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 (x, y)| yx2, 边界为 (x, y)| y=x2. (4)(x, y)|x2+(y-1)21(x, y)|x2+(y-2)24. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 (x, y)|x2+(y-1)2=1(x, y)|x2+(y-2
2、)2=4. 2. 已知函数, 试求f(tx, ty). 解 . 3. 试证函数F(x, y)=ln xln y满足关系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 证明 F(xy, uv)=ln(x, y)ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v) =ln xln u+ln xln v+ln yln u+ln yln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函数f(u, v, w)=uw+wu+v, 试求f(x+y, x-y, xy). 解 f(x+y, x-y, xy)=(x+y)xy+
3、(xy)(x+y)+(x-y)=(x+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y2-2x+1); 解 要使函数有意义, 必须 y2-2x+10, 故函数的定义域为 D=(x, y)|y2-2x+10. (2); 解 要使函数有意义, 必须 x+y0, x-y0, 故函数的定义域为 D=(x, y)|x+y0, x-y0. (3); 解 要使函数有意义, 必须 y0,即, 于是有 x0且x2y,故函数定义域为 D=(x, y)| x0, y0, x2y. (4); 解 要使函数有意义, 必须 y-x0, x0, 1-x2-y20, 故函数的定义域为 D=(x,
4、y)| y-x0, x0, x2+y2r0); 解 要使函数有意义, 必须 R2-x2-y2-z20且x2+y2+z2-r20, 故函数的定义域为 D=(x, y, z)| r20, 取d=2e, 当时恒有 , 所以 . 10. 设F(x, y)=f(x), f(x)在x0处连续, 证明: 对任意y0R, F(x, y)在(x0, y0)处连续. 证明 由题设知, f(x)在x0处连续, 故对于任意给定的e0, 取d0, 当|x-x0|d时, 有|f(x)-f(x0)|e. 作(x0, y0)的邻域U(x0, y0), d), 显然当(x, y)U(x0, y0), d)时, |x-x0|d,
5、 从而 |F(x, y)-F(x0, y0)|=|f(x)-f(x0)|e, 所以F(x, y)在点(x0, y0)处连续. 又因为y0是任意的, 所以对任意y0R, F(x, y)在(x0, y0)处连续. 习题8-2 1. 求下列函数的偏导数: (1) z =x3y-y3x; 解 , . (2); 解 , . (3); 解 . 同理 . (4) z=sin(xy)+cos2(xy); 解 根据对称性可知 . (5); 解 , . (6) z=(1+xy)y; 解 , . (7); 解 , , . (8) u=arctan(x-y)z; 解 , , . 2. 设, 试证. 解 因为 , ,
6、所以 . 3. 设, 求证. 解 因为, , 所以 4. 设, 求. 解 因为 , 所以 . 5. 曲线在点(2, 4, 5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？ 解 因为 , , 故 . 6. 求下列函数的, , . (1) z=x4+y4-4x2y2; 解 , ; , ; . (2); 解 , ; , ; . (3) z=yx. 解 , ; , ; . 7. 设f(x, y, z)=xy2+yz2+zx2, 求fxx(0, 0, 1), fxz(1, 0, 2), fyz(0, -1, 0)及fzzx(2, 0, 1). 解 因为 fx=y2+2xz, fxx=2z, fxz=2x, fy
7、=2xy+z2, fyz=2z, fz=2yz+x2, fzz=2y, fzzx=0, 所以 fxx(0, 0, 1)=2, fxz(1, 0, 2)=2, fyz(0, -1, 0)=0, fzzx(2, 0, 1)=0. 8. 设z=xln(xy), 求及. 解 , , , , . 9. 验证: (1)满足; 证明 因为 , , , , 所以 . (2)满足. 证明 , ,由对称性知 , , 因此 . 习题8-3 1. 求下列函数的全微分: (1); 解 . (2); 解 . (3) ; 解 因为 , , 所以 . (4)u=xyz. 解 因为 , , , 所以 . 2. 求函数z=ln(
8、1+x2+y2)当x=1, y=2时的全微分. 解 因为 , , , , 所以 . 3. 求函数当x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2时的全增量和全微分. 解 因为 , , 所以, 当x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2时, , . 4. 求函数z=exy当x=1, y=1, Dx=0.15, Dy=0.1时的全微分. 解 因为 所以, 当x=1, y=1, Dx=0.15, Dy=0.1时, . *5. 计算的近似值. 解 设, 由于 , 所以取x=1, y=2, Dx=0.02, Dy=-0.03可得 . *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.6
9、93). 解 设z=xy, 由于 , 所以取x=2, y=1, Dx=-0.03, Dy=0.05可得 (1.97)1.052-0.03+2ln20.05+1.97+0.0693 2.093. *7. 已知边长为x=6m与y=8m的矩形, 如果x边增加5cm而y边减少10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为, , 当x=6, y=8, Dx=0.05, Dy=-0.1时, . 这个矩形的对角线大约减少5cm. *8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm, 内高为20cm,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V=pR2h, DVdV=2pRhDR+pR2Dh,当R=
