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1、完全平方公式【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】 要点一、公式法完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(差)的平方 即 a2 + 2ab + b2 = (a + b )2, a2 - 2ab + b2 =(a - b )2.形如a2 + 2ab + b2, a2 - 2ab + b2的式子叫做完全平方式.要点诠释 (1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；(2) 完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或
2、 减)这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和(或差)的平方.(3) 完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.(4) 套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1) 如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式那就尝试用公式法；(3) 如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到) 要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式；( 2)最终把多项式化成乘积形式；(3)结果要彻底，即分解到不能再分解为止典型例题】类型一、公式法完全平方公式01分解因式：(1)-3ax
3、2 + 6axy - 3ay2 ；(2) a4 一 2a2b2 + b4 ；(3)16x2y2 -(x2 + 4y2)2 ；(4)a4 一8a2b2 + 16b4.【答案与解析】解：(1) -3ax2 + 6axy-3ay2 = -3a(x2 -2xy + y2) = -3a(x- y)2.(2) a4 -2a2b2 + b4 = (a2 -b2)2 = (a + b)(a -b)2 = (a + b)2(a -b)2.(3) 16x2y2 -(x2 + 4y2)2(4) a4 -8a2b2 + 16b4 = (a2 -4b2)2 = (a + 2b)(a-2b)2 = (a + 2b)2(a
4、-2b)2.【总结升华 (1)提公因式法是因式分解的首选法多项式中各项若有公因式，一定要先提 公因式，常用思路是：提公因式法；运用公式法.(2)因式分解要分解到每一个因式不 能再分解为止举一反三：【变式】分解因式：(1) 4(x + a)2 +12(x + a)(x + b) + 9(x + b)2.(2) 4(x + y)2 4(x2 y2) + (x y)2.【答案】解：(1)原式二2(x + a)2 + 2 - 2(x + a) - 3(x + b) + 3(x + b)2(2)原式二2(x + y)2 2 - 2(x + y) - (x y) + (x y)22、已知 a+b=3, a
5、b=2,求代数式 a3b+2a2b2+ab3.【思路点拨】先提公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算 即可得解【答案与解析】解： a3b+2a2b2+ab3= ab( a2+2ab+b2)= ab( a+b) 2将 a+b=3, ab=2 代入得，ab (a+b) 2=2x32=18.故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.【总结升华 在因式分解中要注意整体思想的应用,对于式子较复杂的题目不要轻易去括号 举一反三：【变式】若x , y是整数，求证：(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y)+ y4是一个完全平方 数.【答案】解：(x + y)
6、(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y)+ y4令 x 2 + 5xy + 4 y 2 二 u上式u(u + 2y2) + y4 二(u + y2)2 二(x2 + 5xy + 5y2)2即(x + y )(x + 2 y )(x + 3 y )(x + 4 y )+ y 4 = (x 2 + 5xy + 5 y 2)类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如： 那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如x 2 + bx添上什么就可以成为完全平方式? 因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转
7、化为二次项系数为1 了分解因式：3x2 + 5x-2.思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.答案与解析】解：如 3x 2 + 5 x 一 2 = 32 )x 一一3丿【总结升华】配方法，二次项系数为1 的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二 次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x22xy+y2=(xy)2及(x土y) 2的值恒为非负数的特点在数学学习中有 着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x - 4的最大(小)值时，我们可以这样处理： 解：原式=2 (x2+6x - 2)
8、=2( x2+6x+9- 9- 2)=2(x+3) 2- 11=2( x+3) 2- 22因为无论x取什么数，都有(x+3) 2的值为非负数所以(x+3) 2的最小值为0,此时x= - 3进而 2( x+3) 2- 22的最小值是2x0 - 22= - 22所以当 x=- 3 时，原多项式的最小值是- 22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x2 - 6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的 取值【答案与解析】 解：原式=3 (x2 - 2x+4)=3(x2- 2x+1- 1+4)=3( x- 1) 2+9，无论x取什么数，都有(x- 1) 2的值为非负数，/.(x - 1) 2的
9、最小值为0,此时x=1，.3 (x- 1) 2+9 的最小值为：3x0+9=9,则当 x=1 时，原多项式的最小值是9【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全 平方公式是解本题的关键举一反三：【变式1】若人ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2 16b2 c2 + 6ab +10bc = 0, 求证：a + c = 2b .答案】解: a2 16b2 c2 + 6ab + 10bc所以(a + 3b )2 -(5b 一 c )2 = 0所以 a + 3b = 土 (5b 一 c)所以 a + c = 2b 或 8b = c 一 a因为 ABC的三边长分别为a、b、c , c a b ,所以8b二c a b，矛盾，舍去.所以 a + c = 2b.【变式 2】若(2019 - x) (2019 - x) =2019,则(2019 - x) 2+ (2019 - x) 2=.【答案】4032.解:.(2019 -x) (2019 -x) =2019,：(2019 -x)-(2019 -x )卩=(2019 -x) 2+ (2019 -x) 2 - 2 (2019 -x) (2019 -x)=4，贝 (2019 -x) 2+ (2019 - x) 2=4+2x2019=4032.
