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1、【科普】经典力学中的变分法（物理吧版）经典力学中的变分法，这个标题对于初学者来说可能足够吓人，但是其内涵是很清楚的，而且并不难理解。我们都知道，一个粒子从A点运动到B点，原则上可以选取无穷多种路径，但事实上宏观粒子只会选择一个路径来走，这一点与量子力学的费曼路径积分不同（路径积分是说，粒子实际走过所有路径，但是在走向宏观的路上，依靠相位差来消去相位差较大的路径，从而得到宏观的那一条路径）。如果你将宏观的真实路径稍微变一下，譬如说，真实路径的坐标是x，你将它变一下，增加一个量：x+x就叫做对坐标x的变分。其实就是将路径的曲线稍微“拨弄”了一下。变分算符和微分算符d的运算法则完全一样，现在我们来讨
2、论一下，在计算中，与求导符号d/dt到底是否可以互换：(dx/dt)=(dx)dt-dx(dt)/dt2=(dx)/dt-dx(dt)/dt2 =d(x)/dt-dxd(t)/dt2 如果与d/dt可以互换，就必须有：(dx/dt)=d(x)/dt但是我们看到，(dx/dt)等于d(x)/dt还要再减去一项dxd(t)/dt2，这就是说，一般情况下，与d/dt不满足互换的条件！那么怎样才能满足它呢？我们只需要多余的一项等于0：dxd(t)/dt2=0那么也就只能有：t=0因为我们不可能要求dx或dt总是等于0，所以只要选择t=0。这就是说，一旦确定了运动起点的时间，运动终点的时间也就确定了，所
3、以在这里，时间t根本没有变分的余地！每走过一条路径（不论是真是假）所花费的时间都是相同的！这叫做“等时变分”。通过一般的物理系理论力学教程我们知道，引入拉格朗日函数L=T-V，并利用等时变分：Ldt=0哈密顿原理我们可以得到拉格朗日方程：d/dt(L/(q)-L/q=0这是与牛顿方程等价的方程。我们所讨论的是等时变分，对于不等时变分，它也不是没有用处。譬如，莫培督最小作用量原理与哈密顿原理就不同，莫培督原理是“等能量变分”。莫培督构造作用量：S=2Tdt其实，它也是：S=(T+V)+(T-V)dt=(机械能)+Ldt取变分：S=(机械能)+Ldt=(机械能)dt+Ldt=0由于是等能量变分，每
4、条轨道的机械能都相等，所以(机械能)=0，我们有：S=Ldt=0虽然形式类似，但这还不是哈密顿原理。我们还需要加上“等时变分”条件，即t=0的条件，才能由此再推出拉格朗日方程。莫培督原理的用处并不仅在于退化为哈密顿原理，它可以推导出光学的费马定理：光沿着光程最小的路径传播。为此，我们将S=2Tdt改写成：S=mvds=pds（2Tdt=mv2dt=mvds,p是动量）由此我们实现了作用量的几何化。由于量子力学中的波粒二象性：p=h/我们有：S=pds=hds/=h/0(0/)ds其中0为在真空中的波长，为在介质中的波长，由于光波的频率确定，所以：S=h/0(c/u)ds（c是光在真空中的速度，u是在介质中的速度）=h/0nds（折射率n=c/u）取变分：S=(h/0)nds=0即：nds=0这就是光学中的费马定理。
