中考数学高频考点突破--二次函数与一次函数综合1．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， 3 ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ 33 x2+bx+c经过点A和点C（1）求b，c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．2．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6x+c（a≠0）交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5），点B的坐标为（1，0）．（1）求此抛物线的解析式及定点坐标；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（﹣4，0），与y轴交于C（0，﹣3），连接BC.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，抛物线y=ax2+bx经过坐标原点O与点A(3，0)，正比例函数y=kx与抛物线交于点B(72，74)．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点N，交OB于点M，是否存在点P，使得△OMN与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）.（1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由. 7．如图，将函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y=x2﹣2|x|的图象．（1）观察思考函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个实数根；方程x2﹣2|x|=2有 个实数根；关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 ；（2）拓展探究①如图2，将直线y=x+1向下平移b个单位，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，求b的值；②如图3，将直线y=kx（k＞0）绕着原点旋转，与y=x2﹣2|x|的图象交于A、B两点（A左B右），直线x=1上有一点P，在直线y=kx（k＞0）旋转的过程中，是否存在某一时刻，△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三角形（点P、A、B按顺时针方向排列）．若存在，请求出k值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线 y=x2−4 与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线 y=x+m 经过点A，与y轴交于点D. （1）求线段 AD 的长； （2）沿直线 AD 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C′ ，若点 C′ 在反比例函数 y=−3x(x<0) 的图象上.求新抛物线对应的函数表达式. 9．抛物线 y=34x2−94x−3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．线段 OA 上有一动点 P (不与 O、A 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 C ，交抛物线于点 M（1）求直线 AB 的解析式； （2）点 N 为线段 AB 下方抛物线上一动点，点 D 是线段 AB 上一动点； ①若四边形 CMND 是平行四边形，证明：点 M、N 横坐标之和为定值；②在点 P、N、D 运动过程中，平行四边形 CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点 D 的坐标，若不存在，说明理由10．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 P 绕着某定点 A 顺时针旋转一定的角度 α ，能得到一个新的点 P′ .经过进一步探究，小明发现，当上述点 P 在某函数图象上运动时，点 P′ 也随之运动，并且点 P′ 的运动轨迹能形成一个新的图形. 试根据下列各题中所给的定点 A 的坐标和角度 α 的大小来解决相关问题.（1）（初步感知）如图1，设 A(1，1) ， α=90° ，点 P 是一次函数 y=kx+b 图像上的动点，已知该一次函数的图象经过点 P1(−1，1) .点 P1 旋转后，得到的点 P′1 的坐标为 ；（2）若点 P′ 的运动轨迹经过点 P′2(2，1) ，求原一次函数的表达式. （3）（深入感悟）如图2，设 A(0，0) ， α=45° ，点 P 反比例函数 y=−1x(x<0) 的图像上的动点，过点 P′ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 M ，求 △OMP′ 的面积.（4）（灵活运用）如图3，设A (1，−3) ， α=60° ，点 P 是二次函数 y=12x2+23x+7 图像上的动点，已知点 B(2，0) 、 C(3，0) ，试探究 △BCP′ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为M(2，1)，且过点N(3，2)．（1）求这个二次函数的关系式；（2）若一次函数y=−43x−4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为抛物线上的一个动点，过点P作PQ//y轴交直线AB于点Q，以PQ为直径作圆交直线AB于点D.设点P的横坐标为n，问：当n为何值时，线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣ 32 与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，现有经过点A的直线l：y=kx+b1与y轴交于点C，与抛物线的另个交点为D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在第二象限且满足CD=5AC，求此时直线1的解析式；在此条件下，点E为直线1下方抛物线上的一点，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）如图，设P在抛物线的对称轴上，且在第二象限，到x轴的距离为4，点Q在抛物线上，若以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，请说明理由．14．已知函数y1=(x+m)(x−m−1)，y2=ax+m(a≠0)在同一平面直角坐标系中.（1）若y1经过点（1，-2），求y1的函数表达式.（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由.（3）若y1经过点（12，0)，且对任意x，都有y1>y2，请利用图象求a的取值范围.15．综合与探究：如图，抛物线 y=ax2+x+c(a≠0) 与x轴交于 A(−2，0)，B 两点（点A在点B的左边），与直线 y=−x+4 分别交于 B，C 两点，P为抛物线上一动点，过点P作 PD⊥x 轴于点D，交直线 BC 于点E． （1）求抛物线的表达式．（2）若点E段 BC 上，求线段 PE 长度的最大值． （3）连接 AC ，当 ∠BCP=∠ACO 时，求点P的坐标． 16．如图1，抛物线 y=−23x2+bx+c 经过 B(3,0) ， C(0,4) 两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得 △BDE 是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由； （3）如图2，P为抛物线在第一象限内一动点，过P作 PQ⊥BC 于Q，当PQ的长度最大时，段BC上找一点M使 PM+45BM 的值最小，求 PM+45BM 的最小值． 17．如图，抛物线y= 12 x2+bx+c过点A（0，﹣6）、B（﹣2，0），与x轴的另一交点为点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）将直线AC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线y=﹣ 12 x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣ 12x2 +bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A． （1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0， 3 ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ 33 x2+bx+c经过点A和点C，∴c=3−33×(−3)2−3b+c=0 ，解得： c=3b=−233 ；（2）解：在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，当AQ=QC，如图1，由（1）得：y=﹣ 33 x2﹣ 233 x+ 3 =﹣ 33 （x+1）2+ 233 ，即抛物线对称轴为：直线x=﹣1，则QO=1，AQ=2，∵CO= 3 ，QO=1，∴QC=2，∴AQ=QC，∴Q（﹣1，0）；当AC=Q1C时，过点C作CF⊥直线x=﹣1，于一点F，则FC=1，∵AO=3，CO= 3 ，∴AC=2 3 ，∴Q1C=2 3 ，∴FQ1= 11 ，故Q1的坐标为：（﹣1， 3 + 11 ）；当AC=CQ2=2 3 时，由Q1的坐标可得；Q2（﹣1，﹣ 11 + 3 ）；当AQ3=AC=2 3 时，则3(23)2−22 =2 2 ，故Q3（﹣1，﹣2 2 ），根据对称性可知Q4（﹣1，2 2 ）（Q4和Q3关于x轴对称）也符合题意，综上所述：符合题意的Q点的坐标为：（﹣1，0）；（﹣1， 3 + 11。
