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1、贵州省凯里市2018-2019学年第一中学高二下学期期中考试数学试题（理）一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为集合是数集，集合是点集，所以故选：C2已知是虚数单位，则复数位于复平面内第几象限（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】由可得：，该复数对应的点在第二象限.故选：B3已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】将代入上式可得：故选：B4已知某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，如下图中的四棱锥设正方体
2、的边长为，该四棱锥中最长的棱为，它与底面所成角为，又,所以故选：C5如图程序框图输出的，则输入的所有取值为（ ）A-2或2B4或2C-2或4或2D-2或4【答案】D【解析】由流程图可得：当时，令，解得：或（舍去）当时，令，解得：所以输入的所有取值为：或故选：D6已知等差数列，且是方程的两根，是数列的前项和，则的值为（ ）A110B66C44D33【答案】B【解析】因为是方程的两根，所以.所以故选：B7已知圆，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的长度为（ ）AB5CD4【答案】A【解析】由得：，所以该圆的半径为，圆心为，依据题意作出图象如下：为直线与圆的切点所以故选：A8已知函数，其图像大致为（
3、 ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以为奇函数，排除C,D当时，所以，所以在上存在递增区间，排除A.故选：B9的展开式中的系数为（ ）A-5B5C35D-90【答案】A【解析】的展开式的通项公式为，所以展开式是由与这些项的和组成，当时，当时，所以的展开式中的系数为.故选：A10在区间上任意取两个实数，则的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可得：作出点所表示的平面区域如下图的正方形，又满足的点在线段左上方的阴影部分，所以的概率为.故选：A11已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积
4、的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圆性质可得：，解得：所以点到平面的距离的最大值为：.在中，由余弦定理可得：当且仅当时，等号成立，所以.所以，当且仅当时，等号成立.当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥的体积的最大值为故选：C12已知椭圆，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】依据题意作出如下图象：由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则所以即：，整理得：又，即：所以所以椭圆离心率的取值范围为
5、故选：D二、填空题13已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为_【答案】-4.【解析因为与平行，所以所以，解得：14实数满足约束条件：，则的取值范围为_【答案】.【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：其中因为表示与点连线斜率，由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为.所以的取值范围为15函数在区间的单调增区间为_【答案】，（开闭都可以）.【解析】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时，=当时，当取其它整数时，所以函数在区间的单调增区间为，16已知函数满足：，且，当时，则函数在点的切线方程为_【答案】.【解析】由题可得：因为，所以点在曲线上，又函数满足：，所以函数的图象关于点
6、对称，所以点关于点对称的点也在函数的图象上所以点为点，又函数的图象在点处的切线与在点处的切线也关于点对称，所以两切线平行.即：所以函数在点的切线方程为：，即：三、解答题17已知，.（1）求函数的最大值，及此时的取值；（2）在三角形中角的对边分别为，若，求三角形的面积.解：（1）由题可得：，化简得： ，当，即时，此时取得最大值为. （2）由得：，. ， 18已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：.解：（1） 是等差数列，公差为. .（2） ,，.19如图多面体，棱垂直平面，且.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）作,的中点分别为，连接，设则
7、,，可算得.在三角形中，即同理可得又面, 又面.（用向量证明也可以）（2）如图建立空间直角坐标系,为的中点，设，则设平面的法向量为，因为，所以所以，不妨设，则所以，又所以直线与平面所成角的正弦值为:所以直线与平面所成角的正弦值为.20为了了解学生考试时的紧张程度，现对100名同学进行评估，打分区间为，得到频率分布直方图如下，其中成等差数列，且.（1）求的值；（2）现采用分层抽样的方式从紧张度值在，中共抽取5名同学，再从这5名同学中随机抽取2人，求至少有一名同学是紧张度值在的概率.解：（1）由题可得：解得. （2）根据分层抽样中抽2人记为，中抽3人记为共有10种本事件： ，记事件为：至少有一名在
8、的同学，该事件包含7个基本事件，所以至少有一名同学是紧张度值在的概率公式，属于中档题.21已知椭圆，分别为椭圆的左右焦点，离心率，上顶点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，且满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.解：（1）由题可得：，解得：，所以椭圆方程为： （2）设直线为，点由化简得： 即，化简得，此方程无解所以不存在满足题意的直线.22已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，证明：只有一个极值点，且.解：（1）由题可得：， 即，即所以的增区间为，减区间为 （2），显然即在上单调递增在区间存在唯一一个，使得即在区间上，为减函数在区间上，为增函数只有一个极小值点在区间上存在唯一一个使得即，当时，
