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1、初中数学竞赛试题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分DBC（第2题）KEFG1若，则+ + +的值是（ ）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）2定义：定点A与O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O之间的距离现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与K的距离为（ ）（A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm3某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，50老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”如果令 其中i=1，2，50；j=1，2，
2、50则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ）（A）+ + +（B）+ + +（C） + + +（D） + + +4若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限ABCEFO（第6题）5满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个6如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于( )(A) 12 (B) 16 (C) (D) 二、
3、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7函数，当x = 时，y有最小值，最小值等于 （第9题）ABCD8以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 9如图，ABC中，A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，则AD的长为 cm10设 ，为实数，且满足=1，则的值是 11正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C 两点同时出发，均按ABCDEFA 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米秒，乙的速度为8厘米秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12正整数M的个位上的数字与数的个位上的数字相
4、同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于 三、解答题（共4小题，满分54分）13（本题满分12分）已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求ABC的面积14（本题满分12分）BACMNPEFQDG如图，ABCD、ADCE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN15（本题满分14
5、分）2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为，小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由得 分评卷人16（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017（2）当n1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1答案：CADBC（第2题）KEFGH解
6、：由，得，所以+ + +=-12答案：A解：连结AK、EK，设AK与O的交点为H，则AH即为所求，因为AK=10，所以AH = 43答案：C解：由题意得C正确4答案：A解：由已知可得，当时，直线过第一、二、三象限；当时，直线过第一、二、四象限综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限5答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为()，则（a,b,k均为正整数），化简，得，所以或ABCEFOG（第6题）解得或或 即有3组解6答案：B解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则OGCOAB，所以OG=OA=，AOG=90，所以AOG是等腰直角三角形，AG=，所以AC=16二、填空题（共6小题
7、，每小题6分，满分36分）7答案：-2，2解：当x-3时，y= -3x-6；当-3x-2时，y= -x；当-2x-1时，y=x+4；当x-1时，y=3x+6； 所以当x=-2时，y的值最小，最小值为28答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形9答案：解：由SABC=SABD + SADC ，得=解得AD=10答案：1，或解：由已知，=1，=1，解得所以，或11答案：解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了厘米，于是解得因x是整数，所以x=8，即经过=秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12答案：36解：的个
8、位数字是7，所以可设，其中k是m位正整数，则由条件N=4M，得=，即当m=5时，k取得最小值17948所以T=179487，它的各位数字之和为36三、解答题（共4题，满分54分）13(12分)解：（1）由B（0，4）得，c=4 G与x轴的交点A（，0），由条件，得，所以=，即A（，0）所以解得所求二次函数的解析式为（2）设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），所以，即平移后所得一次函数的解析式为ABDCOxy（第13题）y= 令=，解得，将它们分别代入y=，得，所以图象L与G的另一个交点为C（，9）如图，过C作CDx轴于D，则SABC=S梯形BCDO-SACD -SABO =
9、15 14(12分)证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形 F是AC的中点， DF的延长线必过O点，且 ABCD， BACMNPEFQDGO ADCE， =又 ， OQ=3DN CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD，AN=AD -DN，于是，AN+CQ=2DN， =2，即 MN+PQ=2PN 15(14分)解：不能 理由：设继点涂成红色后被涂到的点是第j号，则j= 若=2007，则j=2007，即除点涂成红色外，其余均没有涂到 若2007，则22007，且24014，即2-20072007，表明点永远涂不到红色 16(16分)解：（1）设，是1，2，3，2
10、008中任意取出的1007个数首先，将1，2，3，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，1004 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为 (互不相等)均为，中的6个数 其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，10032006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是，中的4个数，不妨记其中的一对为 又在三对数，(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同，不妨设该对数为， 于是 （2）不成立当时，不妨从1，2，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=40184017；当时，同样从1，2，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=40184017 所以时都不成立
