《2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试初中数学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试初中数学.docx（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：此题总分值42分，每题7分1. 假设均为整数且满足，那么 B A1. B2. C3. D4.2假设实数满足等式，那么可能取的最大值为 C A0. B1. C2. D3.3假设是两个正数，且 那么 C A. B. C. D.4假设方程的两根也是方程的根，那么的值为 A A13. B9. C6. D 0.5在中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，,那么 ( B )A15. B20. C25. D30.6对于自然数，将其各位数字之和记为，如，那么 D A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题：此题总分值28
2、分，每题7分1实数满足方程组那么 13 .2二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C，那么 3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC内一点，且PA，PC5，那么PB_4将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_15_个球.第二试 A一此题总分值20分设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由等式可得 令，那么，其中均为自然数.于是，等式变为，即 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和 1当时，.又为三角形的三边长，所
3、以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 2当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 二此题总分值25分等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分线与AB边交于点P，M为ABC的内切圆I与BC边的切点，作MD/AC，交I于点D.证明：PD是I的切线. 证明 过点P作I的切线PQ切点为Q并延长，交BC于点N.因为CP为ACB的平分线，所以AC
4、PBCP.又因为PA、PQ均为I的切线，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因为MD/AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在I上，所以点Q和点D重合，故PD是I的切线. 三此题总分值25分二次函数的图象经过两点P，Q.1如果都是整数，且，求的值.2设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.解 点P、Q在二次函数的图象上，故，解得，. 1由知解得.又为整数，所以，.(2) 设是方程的两个整数根，且.由根与系数的关系可得，消去，
5、得，两边同时乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.因此，二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为1,0和2,0，点C的坐标为0,2，所以ABC的面积为.第二试 B一此题总分值20分设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数全等的三角形只计算1次.解 不妨设，由等式可得 令，那么，其中均为自然数.于是，等式变为，即 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和 1当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
6、2当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 二此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同. 三此题总分值25分题目和解答与A卷第三题相同. 第二试 C一此题总分值20分题目和解答与B卷第一题相同. 二此题总分值25分题目和解答与A卷第二题相同. 三此题总分值25分设是大于2的质数，k为正整数假设函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值解 由题意知，方程的两根中至少有一个为整数由根与系数的关系可得，从而有 1假设，那么方程为，它有两个整数根和 2假设，那么.因为为整数，如果中至少有一个为整数，那么都是整数.又因为为质数，由式知或不妨设，那么可设其中m为非零整数，那么由式可得，故，即又，所以，即 如果m为正整数，那么，从而，与式矛盾.如果m为负整数，那么，从而，与式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根 综上所述，
