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1、构造等腰三角形的常用方法几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来，使隐蔽的条件显现，将复杂的问题简单化，在解题的过程中有时需要构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解 .本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法 .方法一 作 “平行线” 来构造等腰三角形1.如图，在 ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F，且 DF = EF .求证：BD = CE .证明：过点 D 作 DGAE，交 BC 于 G 点，则 GDF = E . GDF = CEF，DFG = EFC，DF = EF , DGF ECF（ASA）
2、， GD = CE . AB = AC , B = ACB， DGAE， DGB = ACB， DBG = DGB， GD = BD , BD = CE .2.已知 ABC 为等边三角形，点 D 为 AC 上的一个动点，点 E 为 BC 延长线上一点，且 BD = DE .（1）如图 ，若点 D 在边 AC 上，猜想线段 AD 与 CE 之间的关系，并说明理由；（2）如图 ，若点 D 在 AC 的延长线上，（1）中的结论是否还成立，请说明理由 .解：（1）AD = CE .理由如下：过点 D 作 DPBC，交 AB 于点 P . ABC 是等边三角形， APD 也是等边三角形， AP = PD
3、 = AD , APD = ABC = ACB = PDA = 60， DB = DE , DBC = DEC， DPBC， PDB = DBC . PDB = DEC .又 BPD = A + ADP = 120，DCE = A + ABC = 120， BPD = DCE .在 BPD 和 DCE 中，BPD = DCE，PDB = CED，DB = DE , BPD DCE（AAS）， PD = CE， AD = CE ;（2）（1）中的结论成立 .理由如下：过点 D 作 DPBC，交 AB 的延长线于点 P . ABC 是等边三角形， APD 也是等边三角形， AP = PD = AD
4、 , APD = ABC = ACB = PDC = 60， DB = DE , DBC = CED . DPBC， PDB = DBC， PDB = CED .在 BPD 和 DCE 中，P = DCE，PDB = CED，DB = DE , BPD DCE（AAS）， PD = CE , AD = CE .方法二 利用 “三线合一” 构造等腰三角形3.如图，在 ABC 中，BP 平分 ABC，且 APBP 于点 P , 连接 CP .若 BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，求 ABC 的面积 .解：延长 AP 交 BC 于点 E . BP 平分 ABC， ABP = EBP .
5、APBP， APB = BPE .在 APB 和 EPB 中，ABP = EBP，BP = BP , BPA = BPE， APB EPB（ASA）， SABP = SBPE，AP = PE . APC 与 PCE 等底同高， SAPC = SPCE， SABC = SABP + SBPE + SAPC + SPCE = 2 SBPC， BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1， SBPC = 1/2 4 1 = 2， SABC = 2 2 = 4 .4.如图，已知 ABC 是等腰直角三角形，A = 90，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，CEBD，交 BD 的延长线于点 E .求证
6、：BD = 2 CE .证明：延长 BA , CE 交于点 M . CEBD， BEC = BEM = 90 . BD 平分 ABC， MBE = CBE .又 BE = BE , MBE CBE（ASA）， EM = EC = 1/2 MC . ABC 是等腰直角三角形， BAC = MAC = 90，AB = AC , ABD + BDA = 90 . BEC = 90， ACM + CDE = 90 . BDA = CDE， ABD = ACM .在 ABD 和 ACM 中，ABD = ACM，AB = AC , BAD = CAM， ABD ACM（ASA）， DB = MC， BD
7、= 2 CE .方法三 利用 “倍角关系” 构造等腰三角形5.如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，且 ABC = 2 C .求证：AB + BD = AC .证明：在边 AC 上截取 AP = AB，连接 PD . AD 平分 BAC， BAD = PAD .在 ABD 和 APD 中，AB = AP，BAD = PAD，AD = AD , ABD APD（SAS）. APD = B，PD = BD . B = 2 C， APD = 2 C .又 APD = C + PDC， PDC = C， PD = PC , AB + BD = AP + PC = AC .方法四
8、 利用 “截长补短法” 构造等腰三角形6.如图，在 ABC 中，BAC = 120，ADBC 于点 D，且 AB + BD = DC , 求 C 的度数 .方法一：截长法如图，在 CD 上截取点 E，使 DE = BD，连接 AE . ADBE，DE = BD， AB = AE . AB + BD = DC , AE + DE = DC .又 DE + CE = DC , CE = AE = AB . B = AED = C + CAE = 2 C . BAC + B + C = BAC + 3 C = 180，BAC = 120， C = 20；方法二：补短法如图，延长 DB 至点 F，使得
9、 BF = AB，则 AB + BD = BF + BD = DF = CD , AF = AC , C = F = 1/2 ABC . BAC + ABC + C = BAC + 3 C = 180，BAC = 120， C = 20 .7.如图，在 ABC 中，AB = AC，点 D 是 ABC 外一点，且 ABD = 60，ACD = 60 .求证：BD + DC = AB .证明：延长 BD 至点 E，使得 BE = AB，连接 AE , CE . ABE = 60，BE = AB , ABE 为等边三角形， AEB = 60，AE = AB .又 ACD = 60， ACD = ABE . AB = AC , AB = AE , AC = AE , ACE = AEC， DCE = DEC， DC = DE , AB = BE = BD + DE = BD + DC ,即 BD + DC = AB .
