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1、1同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用.一、知一求二例1已知sin ，则tan .解析由sin ，且sin2cos21得cos ，因为，可得cos ，所以tan 2.答案2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.二、“1”的妙用例2 证明：.证明因为sin2xcos2x1，所以1(sin2xcos2x)3，1(sin2xcos2x)2，所以.即原命题得证
2、.点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例3 已知tan 2，求值：(1) ；(2)2sin23cos2 .解析(1)因为cos 0，分子分母同除以cos ，得1.(2)2sin23cos2，因为cos20，分子分母同除以cos2，得1.答案(1)1(2)1点评这是一组在已知tan m的条件下，求关于sin ，cos 的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式. (2)因为cos 0，所以分子、分母可同时除以cosn (nN).这样可以将所求式化为关
3、于tan 的表达式，整体代入tan m的值求解.2三角函数化简求值的“主角”“变角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招单角化复角例1 已知sin ，是第二象限的角，且tan()，则tan 的值为 .解析因为sin ，为第二象限的角，所以cos ，所以tan .所以tan tan().答案点评将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：()，()，(2)()，()()，()()等.第二招复角化单角例2 化简：2cos().解原式.点评由于该式含有2和，这两个角都是复
4、角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可.第三招复角化复角例3 已知，0，cos，sin，求sin()的值.解因为，所以sin.又因为0，0，sin0，故原式sin .点评一般地，在化简求值时，遇到1cos 2，1cos 2，1sin 2，1sin 2常常化为平方式：2cos2，2sin2，(sin cos )2，(sin cos )2.三、灵活变角例3 已知sin，则cos .解析cos2cos212sin21221.答案点评正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“”表示待求角“2”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求
5、弦例4 已知tan ，则的值是 .解析3.答案3点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin 和cos 的二次齐次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5 求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解原式cos 20cos 40cos 80.点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为yAsin(x)B的形式求解例1求函数f(x)的最值.解原函数变形得：f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函数ysin2x2sin xcos
6、 x3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.解原函数化简得：ysin 2xcos 2x2sin2.当2x2k，kZ，即xk，kZ时，ymin2.此时x的集合为.点评形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成yAsin(2x)B的形式求最值.二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3求函数y的值域.解原函数整理得sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.即函数的值域为3，).例4求函数y的值域.解原函数整理得sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得：y.即值域为.点评对于形如
7、y或y的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5设关于x的函数ycos 2x2acos x2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.当1，即a1，即a2时，f(a)ymin14a，此时cos x1.综上所述，f(a)点评形如yasin2xbsin xc的三角函数可转化为二次函数yat2btc在区间1，1上的最值问题解决.例6试求函数ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解设sin xcos xt，t，则2sin xcos xt21，原函数变为
8、yt2t1，t， ，当t时，ymin；当t时，ymax3.点评一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin xcos xt，则sin xcos x(t21)；sin xcos xt，则sin xcos x(1t2).四、利用函数的单调性求解例7求函数y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，则t1，3，yt.利用函数单调性的定义易证函数yt在1，3上为增函数.故当t1即sin x1时，ymin0；当t3即sin x1时，ymax.例8在RtABC内有一内接正方形，它的一条
9、边在斜边BC上，设ABa，ABC，ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .设正方形边长为x，AGxcos ，BC.BC边上的高hasin ，即，x，Qx2.从而1.令tsin 2，t(0，1易知函数y在区间(0，1上是减少的，所以当sin 21时，min.点评一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决.5三角恒等变形一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1已知sin ，sin ，和都是锐角，求的值.错解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin c
10、os cos sin .因为，则(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是锐角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos()的值.正解因为和都是锐角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因为，则(0，)，所以.温馨点评根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2已知t
11、an26tan 70，tan26tan 70，(0，)，且，求的值.错解由题意知tan ，tan 是方程x26x70的两根，由根与系数的关系得：tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0，角，都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.正解由易知tan 0，tan 0.，(0，)，.2.又tan()1，.温馨点评在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3在ABC中，已知sin A，cos B，求cos C.错解由sin A，得cos A，由cos B，得sin B，当cos A时，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.当cos A时
