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1、2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题7.3 基本不等式目录一、考点全归纳1题型 一利用基本不等式求最值2类型二通过常数代换利用基本不等式求最值3类型四多次利用基本不等式求最值5类型一与其他知识的交汇问题6题型三 基本不等式在实际问题中的应用9三、高效训练突破11一、考点全归纳1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，
2、几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数常用结论已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)二、题型全归纳题型 一利用基本不等式求最值【题型要点】(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式(2)常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积
3、为常数”，最后利用基本不等式求最值(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法类型一通过配凑法利用基本不等式求最值【例1】(1)已知0x1)的最小值为_【答案】(1)(2)22【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立类型二通过常数代换利用基本不等式求最值【例2】若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6 C4
4、D2【答案】C【解析】由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.【例3】(2020北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得aman16a，则的最小值为()A. B. C. D不存在【答案】C【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7a62a5得a6qa6，化简得，q2q20，解得q2或q1(舍去)，因为aman16a，所以(a1qm1)(a1qn1)16a，则qmn216，解得mn6，所以(mn).当且仅当时取等号，此时
5、解得因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m2，n4时，取得最小值为.类型三通过消元法利用基本不等式求最值【例4】已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_【答案】6来源:学科网ZXXK【解析】法一：由已知得x3y9xy，又因为x0，y0，所以x3y2，所以3xy，当且仅当x3y时，即x3，y1时取等号，(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t0且t212t1080，得t6即x3y6.法二：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266.当且仅当3(1y)，即y1时等号成立所以x3y的最小值为6.类型四多次利用基本不等式求最值【例5
6、】若a，bR，ab0，则的最小值为_【答案】4【解析】因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.题型二 基本不等式的综合应用【题型要点】基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 类型一与其他知识的交汇问题【例1】(1)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是_(2)设等差数列an的公差是d，其前n
7、项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_【答案】(1)9(2)【解析】(1)圆x2y22y50化成标准方程，来源:学科网ZXXK得x2(y1)26，所以圆心为C(0，1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c0，所以24.当且仅当b2c，且bc1，来源:Zxxk.Com即b，c时，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，所以(n1)，当且仅当n4时取等号所以的最小值是.【例2】(2020昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，已知AB4，AD3，点E，F分别在BC，CD上，且EAF45.设BAE，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tan_
8、.【答案】1【解析】在直角三角形ABE中，可得BE4tan(0tan1)，在直角三角形ADF中，DF3tan(45)，可得四边形AECF的面积S1244tan33tan(45)128tan208(1tan)8(1tan)212，当且仅当8(1tan)，即tan1，且满足0tan0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，所以(1)29恒成立所以a4.【例4】(2020河南平顶山一模)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()Aa Ba Ca Da【答案】A【解析】因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x1时等号成立，所以a.故选A.题型
9、三 基本不等式在实际问题中的应用【题型要点】利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 【例1】(2020湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m，宽为1 m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为_ m3.【答案】【解析】设长方体底面边长为x m，宽为y
10、 m，高为z m，如图所示，则解得x1y，z1y.所以该长方体的体积为xyzy(1y)(1y)2y(1y)(1y)3，当且仅当2y1y，即y时，等号成立故此长方体体积的最大值为 m3.【例2】(2020成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元【答案】220【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间
11、的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，k15，k220，运费与仓储费之和为万元，5x220，当且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元题型四 利用均值定理连续放缩求最值【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法 【例1】已知ab0，那么a2的最小值为_【答案】4【解析】因为ab0，所以ab0，所以b(ab)，所以a2a224，当且仅当b
12、ab且a2，即a且b时取等号，所以a2的最小值为4.【例2】设ab0，则a2的最小值是_【答案】4【解析】因为ab0，所以ab0，所以a2(a2ab)ab224(当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号)三、高效训练突破一、选择题1(2020广西钦州期末)已知a，bR，a2b215ab，则ab的最大值是()A15 B12 C5 D3【答案】C.【解析】：因为a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，当且仅当ab时等号成立所以ab的最大值为5.故选C.2(2020揭阳模拟)设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2成立的条件是ab0，所以“a2b22ab”是“2”成立的必要不充分条件3已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号，故mn的最小值为4.4(2020
