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1、第0章 绪论一、三大空间的概念：距离空间，赋范线性空间，内积空间。二、掌握定义距离，范数，内积的几条公理并会验证；常用距离空间、赋范线性空间及内积空间的例子。三、会用范数定义内积，用内积定义范数。四、了解内积空间的正交概念及正交投影定理。五、了解完备的内积空间Hilbert空间中的正交系及规范正交系的概念。l 距离空间举例：中距离： ； n维实向量空间中的距离：，等；中距离。l 赋范线性空间：设E是线性空间，又在E上定义了范数，则称E为赋范线性空间，记作。l 距离与范数的关系：在赋范线性空间中，由范数可以导出距离：，因此赋范线性空间由范数导出的距离也构成了距离空间；反之满足一定条件可以。如，中
2、范数，由此定义的距离： 中范数，定义距离l 矩阵的算子范数 给出一种向量范数 ，相应定义一个矩阵非负函数，称为矩阵的算子范数。常用矩阵的算子范数（1）行范数；（2）列范数；（3）2-范数。谱半径：设的特征值为，称为A的谱半径.谱半径的性质：设，则；为对称矩阵，则.l 内积空间的例子：中；中内积可诱导范数 举例：书上P27，20题 （2）设，问按定义是内积吗？为什么？答：按定义构成内积验证：（1）正定性 ， 而（2）共轭性 由于而， 所以 . （3）第一变元线性性质 综上，按定义构成内积第1章 插值法一、插值法的基本概念。二、会用待定系数法、Lagrange插值法构造插值多项式l 已知函数在区间
3、上n+1个互异的插值节点处的函数值，则次Lagrange插值多项式为 （1.2.5） 其中为插值节点处的次Lagrange插值基函数, 且满足：。 例1.2.2 已知的一组数据见下表，用二次插值多项式计算的近似值，并估计误差。 xi1 2 3yi0.3679 0.1353 0.0183解：记，则。由插值公式得 。误差函数 故 。第2章 最佳逼近和最小二乘法一、内积空间的最佳逼近思想、度量标准（利用范数）及求解方法。二、掌握中的最佳平方逼近的构造方法。三、能写出勒让德多项式和切比雪夫多项式，及正交性等。四、离散数据的最小二乘逼近方法。n 中的最佳平方逼近：设在空间中定义内积和范数， 若是中的个线
4、性无关函数，线性子空间。对于，存在，使得 （2.2.1）称是在空间中关于权函数的最佳平方逼近函数。且满足法方程 l 均方误差 例2.2.1 求区间上函数在中的最佳平方逼近多项式及均方误差。解: 记，计算得 ， ， ， 。 解法方程为 解得。的最佳平方逼近为。 均方误差 。n 勒让德（Legendre）多项式 区间上定义的多项式序列 （2.3.1）性质 ，递推关系： 由递推公式可依次得到次Legendre多项式的简单表达形式：， ， 例2.3.1 求上函数的三次最佳平方逼近多项式。解 由于是区间上的连续函数，故取Legendre正交多项式作为基函数，。因为 又 ， ，。则 。的三次最佳平方逼近多
5、项式为。n 切比雪夫（Tchebichef）多项式 在区间上，取权函数，则由线性无关的多项式序列，通过Gram-Schmidt正交化得到的序列，称为切比雪夫（Tchebichef）多项式，它可以表示为。性质：正交性 （2.3.2） 递推关系 ； 例2.3.3 确定参数，使得取得最小值，并计算最小值。解 问题等价于求在上关于权函数的二次最佳平方逼近多项式。故选取切比雪夫基函数。 的二次最佳平方逼近多项式为由此得到参数。而最小值即是平方均方误差 第3章 数值积分与数值微分一、插值型求积分的基本思想，代数精度的概念及判断。二、Lagrange插值多项式的构造方法；等距节点的牛顿-柯特斯公式及余项估计
6、（梯形求积公式，辛普森求积公式）。三、会用复化梯形法，复化辛普森求法及龙贝格方法求解定积分的近似值并能估计误差。四、Gauss型求积思想及代数精度，会确定Gauss点。五、了解数值微分的思想及在节点处的数值微分计算。n 数值积分法 （3.1.1）又称为机械求积法。称为求积余项或误差。n 插值型求积公式是的Lagrange插值多项式，余项若，得求积公式 （3.1.3）其中。该公式称为插值型求积公式。积分余项 n 求积公式的代数精度的定义及验证例3.1.1 试确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造出的求积公式的代数精度。解 将分别代入公式使其准确成立，则有 解得，故求积公式 验
7、证知：代入准确成立，代入不准确成立。因而该公式具有3次代数精度。n 节点均匀分布的牛顿柯特斯（NewtonCotes）公式设是有限区间, 个等间距节点，其中，步长，则Lagrange插值基函数为求积分系数为 其中 称为NC系数从而求积公式 - NC公式l n=1时，梯形公式： 余项：, (3.2.5)具有1阶代数精度。l n=2时, 辛普森（Simpson）公式 余项：，. 具有3阶代数精度。n 复合梯形公式：将分成n个区间，步长, 节点，则 其中： （3.3.1）称为复合梯形公式 余项 n 复合simpson公式 设. 将2n+1个节点分成n个小区间：, 则 （3.3.2）称为复合simps
8、on公式 余项 。例3.3.1 应用复合梯形公式计算积分，要求误差不超过，试确定所需的步长和节点个数. 解 令，则 ，可知在上为单调函数，因此 由于复化梯形公式的误差为：，因此 。要，只要 ，即，因此. 故取步长. 又，得，取节点数为1001.例3.3.2 对函数，给出的函数表(见表3-3-1)，试用复化梯形公式(3.3.1)及复化辛普森公式(3.3.2)计算积分，并估计误差.解 将积分区间划分为8等分，应用复化梯形法， 表 3-3-1011/80.99739781/40.98961583/80.97672671/20.95885105/80.93615563/40.90885167/80.8
9、77192510.8414709求得 ；而如果将分为4等分，应用复化辛普森法求得 .为了利用余项公式估计误差，要求出的高阶导数，由于所以有 于是 .故复化梯形公式误差； 而复化辛普森公式误差； n 龙贝格算法基本思想：在逐次半分梯形序列的基础上，利用序列的某种线性组合构造一个新的序列，使其精度更高，收敛速度更快，这种方法又称为加速法。所用公式如下：将积分区间逐次半分为个区间（是半分次数）的梯形法有如下递推公式： （3.4.2）由此得到一个梯形值序列，可以作为积分的近似值。第一次加速公式：，得到Simpson序列第二次加速公式： ，得到Cotes序列第三次加速公式： ，得到龙贝格(Romberg
10、)序列Romberg算法计算过程中的数值如下： 例3.4.1 用Romberg算法计算积分. 解 令，计算，利用上述各公式计算得Romberg的计算结果见下表(代表二分次数)：k00.920735510.93979330.946145920.94451530.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831n 高斯求积公式定义 若在区间中适当选取求积节点，使得插值型求积公式（3.5.1）具有次代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式，相应的节点为Gauss点。l 定理3.5.1给出了求高斯点的一种方法；也可以通过勒让德多项式求出权
11、为1的高斯点。第4章 线性方程组的数值解法一、 了解方程组的数值解法分两类: 直接法和迭代法二、 了解线性方程组受扰动影响的性态（病态/良态），条件数的作用及计算。三、 会用高斯消元法、选主元的法解方程组。四、 知道矩阵能够进行直接三角分解的条件；掌握用法，法，法以及追赶法求解相应的线性方程组。五、 了解迭代法的思想；掌握求解方程组的Jacobi和Gauss-seidel迭代法，及收敛性的判别方法；了解SOR迭代法及判别定理。 n 条件数: 设A为非奇异矩阵, 称为矩阵A的条件数. 记作, 即。常用的条件数：；n 矩阵的三角分解的存在唯一性：若阶矩阵的各阶顺序主子式(), 则可唯一分解为一个单
12、位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，即，称为矩阵的三角分解或分解n Doolittle（杜利特尔）直接分解法： 矩阵L U分解的紧凑格式 Wang wei-wei, Xidian University Page 27 of 34 1/4/2015 3:05:07 PM 例4.3.1 已知线性方程组 写出系数矩阵的紧凑格式，并由LU分解方法解方程组解 由于 存放L、U的紧凑格式 解方程，得，解方程 ，得。n 对称矩阵的三角分解：设为阶对称矩阵, 且的所有顺序主子式均不为零, 则可唯一分解为，其中为单位下三角矩阵, 为对角阵.n 对称正定矩阵Cholesky分解 若为阶对称正定矩阵, 则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角矩阵, 使得。因而求解方程组求解下列两个三角形线性方程组, 又称此方法为平方根法。例4.3.2 用平方根法求解下面对称正定方程组 。解： 分解，解方程组得， 解方程组得n 改进的平方根法：求解方程组等价于解。n 三对角矩阵的分解 设为阶三对角阵, 且的元素满足: 1. 2. , 3. 则可唯一分解为一个单位下二对角阵和一个上二对角阵的乘积n 雅可比（Jacobi）迭代法，高斯赛德尔（Gauss-seidel）迭代法n 迭代法
