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1、立体几何练习题1.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，.（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）求证：；（3）求直线与面所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。（1）证明：PB/平面ACM；（2）证明：AD平面PAC（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。3. 如图，四棱锥中，与都是等边三角形（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值4.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ACAD底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上
2、，且PE=2EB（）求证：平面PAB平面PCB；（）求证：PD平面EAC；（）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值5.如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，且 （1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值.6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1=AB=2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角AA1CB的大小7.在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）求证AB面VA
3、D；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小8.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（） 求证：EFBC；（）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值9.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点（）求证：PBDM；（）求BD与平面ADMN所成的角10.如图，在等腰梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.立体几
4、何试卷答案（2）证明：连接AC， ，由余弦定理得， 6分取中点，连接，则. 面 8分（）如图，以射线OA为轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系, B y SCA D2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点，又平面ACM，平面ACM,所以PB/平面ACM。（2）证明：因为，AD=AC，所以，所以,又PO平面ABCD，所以所以AD平面PAC。（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，所以为直线AM与平面ABCD所成角。因为AD=AC=1，所以所以又所以3.（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）证明：过作平面于，连依题意，则又
5、为，故为的中点面，面面在梯形中，4.【解答】（）证明：PA底面ABCD，BC底面ABCD，PABC又ABBC，PAAB=A，BC平面PAB又BC平面PCB，平面PAB平面PCB（）证明：PCAD，在梯形ABCD中，由ABBC，AB=BC，得BAC=，DCA=BAC=，又ACAD，故DAC为等腰直角三角形，DC=AC=（AB）=2AB连接BD，交AC于点M，则=2连接EM，在BPD中， =2，PDEM，又PD/平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC（）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P
6、（0，0，3），E（0，2，1）设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则，=（3，3，0），=（0，2，1），解得x=，y=，=（，1）设=（x，y，1）为平面PBC的一个法向量，则，又=（3，0，0），=（0，3，3），解得x=0，y=1，=（0，1，1）（取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量）cos，=|=，平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为.注：以其他方式建系的参照给分5.（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面，
7、 为中点，为中点，为的中位线，又平面平面，平面平面，平面，6【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，因AA1=AB，则ADA1B 由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B。得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC（2）解：连接CD，由（1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则在等腰直角A1AB中，AA1=
8、AB=2，且点D是A1B中点，且，过点A作AEA1C于点E，连DE由（1）知AD平面A1BC，则ADA1C，且AEAD=AAED即为二面角AA1CB的一个平面角，且直角A1AC中：又，且二面角AA1CB为锐二面角，即二面角AA1CB的大小为7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VEAD，而面VAD底面ABCD，则VEAB又面ABCD是正方形，则ABAD，故AB面VAD（2）由AB面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由VAD是正，则AFVD，由三垂线定理知BFVD，故AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角设正方形ABCD的
9、边长为a，则在RtABF中，AB=a，AF=a，tanAFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为8. 【解答】（本小题满分12分）证明：（）四边形ABCD为菱形ADBC，且BC面ADEF，AD面ADEF，BC面ADEF，且面ADEF面BCEF=EF，EFBC 解：（）FO面ABCD，FOAO，FOOB又OBAO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM易证EM平面ABCD又BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），F（0，0，），E（，），向量=（，），向量=（，1，
10、0），向量，设面BCFE的法向量为：，得到，令时， =（1，1），面AOF的一个法向量，设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为，则cos=，sin=故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为99如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（）因为=0所以PBDM（）因为=0所以PBAD又PBDM因此的余角即是BD与平面ADMN所成的角因为所以=因此BD与平面ADMN所成的角为10. 试题解析：（1）证明：在梯形中，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，令，则，.设为平面的一个法向量，由，得，取，则，是平面的一个法向量，.，当时，有最小值，当时，有最大值，.12
