第29届俄罗斯一道奥赛试题的推广

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1、第29届俄罗斯一道奥赛试题的推广第29届俄罗斯一道奥赛试题如下：设a、b、c为正数，它们的和等于1，求证：+本文旨在借助于柯西(Cauchy)不等式证明其推广定理，同时将指出，该试题乃是本文定理的一个特殊情形，颇为新颖有趣。定理：设a、b、c、m0，且a+b+c=m则+证明：a、b、c、m0，且a+b+c=m 由可得：=，=及=，上面等式两两相加并应用柯西不等式知：+=+= +=+ +=+ 由+得：2(+)4(+) 由得：+ 特别是，当m=1时，应用本定理可得：推论：设a，b，c0，且a+b+c=1则：+这里要指出的是，这个推论即是俄罗斯一道奥赛试题，可见本文定理乃是该试题的一个推广，在下将把

2、定理1再向前推进一步即是：定理2，设a，b，c，d，m0，且a+b+c+d=m，则+证明：a，b，c，d，m0，且a+b+c+d=m 应用柯西不等式可知：+=+= +=+ +=+ +=+ 此四不等式相加并除以2即得：+ 特别是：当m=1时，应用定理2可得：推论：设a，b，c，d0，且a+b+c+d=1，则+这里尚需指出的是，定理2更进一步的推广即是如下结果：定理3，设a1，a2.an，m0且+.=m (n3)则有：+.+.+证明：因a1，a2.an，m0，n3为正整数，且a1+a2+.+an=m 应用柯西(Cauchy)不等式可得： ,. 注意到，上面n个不等式相加可得：2(+.+)4（+.+）由同除以2得：+.+.+）特别是，当n=3，m=1时，应用定理3可得：推论：设a1，a2，a30，且a1+a2+a3=1则+,若a1=a,a2=b, a3=c应用此推论可知+.应当指出的是，这个定理3的推论也即是俄罗斯一道奥赛试题，可见定理3亦为该试题的一个推广。主要参考资料、毛良忠：巧用柯西不等式的变式解一类公式问题，数学通讯2008(13)；3