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1、第八章 质点系动力学：矢量方法一、动量定理和动量矩定理1 动量定理质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢： ， 质点系动量定理的微分形式： 质点系动量定理的积分形式， 其中为外力系主矢的冲量。质点系的内力不能改变其总动量。质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒，即该常矢量由质点系运动的初始条件确定。质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为 ，如果，则。解题要领1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速
2、度关系问题经常用动量定理.2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度. 3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔.4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式.5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程.2 质心运动定理质点系的动量等于质心的动量 ，质心运动定理质心运动守恒： 1） 如，则质心速度vC = vC0 (常矢量)。进一步，若，则.2） 如，则质心速度 (常量)。进一步，若，则.，质点系中各质点的绝对位移满足如下关系 .解题要领1）质心运动定理是质点系动量定理的又一表现形式，根据题意灵活
3、选择是用质心运动定理还是质点系动量定理.2）质心的运动由外力的主矢决定.3）与质心运动定理相关的运动学量，如位移、速度和加速度都是绝对的.3 动量矩定理质点系对O点的动量矩为平移刚体对O点的动量矩.定轴转动刚体对转轴的动量矩，式中Jz = mir2i称为刚体对轴z的转动惯量。质点系的动量矩定理其中为外力系对固定点的主矩. 直角坐标系坐标轴上的投影式，动量矩定理的微分形式，式中为外力系主矩的元冲量矩。动量矩定理的积分形式：，其中Mz = Mz(Fi)为主动力对轴z的矩。两个平行轴，（质心轴）的转动惯量有如下关动量矩守恒：如果质点系所受外力对某一固定点O的主矩为零，则质点系对O点的动量矩保持不变，
4、即.如果质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零，但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零（比如x轴），则质点系对此轴的动量矩保持不变，即.4 刚体绕定轴转动微分方程，其中为转动轴，为与转动轴平行的质心轴.物体对轴的回转半径 .解题要领1） 定轴转动微分方程数学形式与质点运动微分方程的弧坐标形式相似，因此，概念和应用可作类比，如质量和转动惯量的物理意义，定轴转动动力学的两类基本问题等.2） 转动惯量的平行移轴公式中 轴一定要是质心轴.5 质点系相对质心的动量矩定理质点系在质心平移坐标系中相对于质心的动量矩为.其中为质点相对于质心的速度。质点系对固定点的动量矩和对质心的动量矩的关系为其中。对质心的动
5、量矩定理 .解题要领：1）对质心的动量矩定理与对固定点动量矩定理得形式相同，对刚体上其他动点，例如速度瞬心的动量矩定理一般就没有这一性质.2）对质心的动量矩定理只涉及外力而与内力无关. 当要计算物体系统的加速度、角加速度和力之间的关系时，可以用对质心的动量矩定理求解；通过积分也可以进一步求得速度或叫速度与力之间的关系.3）解题时，一般将对质心的动量矩定理和质心运动定理结合使用.6 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程.其中C为刚体的质心. 解题要领：1）解决刚体作平面运动时刚体上点的加速度或刚体角加速度与作用力的关系时，可以用刚体平面运动微分方程解决。如果得到的结果不是瞬时值，而是时间的函
6、数，则通过积分，还可以求得速度和角速度。2）方程中点必须是质心.3）三个独立的方程来解刚体平面运动问题。但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。表达系统的独立运动学参数个数与系统得自由度相同。二、动力学建模的动静法1 惯性力和达朗贝尔原理质点的惯性力：，质点的达朗贝尔原理：质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。质点系的达朗贝尔原理：质点系运动的每一瞬时，作用在每个质点上的主动力，约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系2 刚体惯性力系的简化(1) 平移刚体惯性力系的简化选取
7、质心C为惯性力的简化中心，则惯性力的主矢和主矩分别为， (2) 平面运动刚体惯性力系的简化将惯性力系向质心C简化，主矢为 ，其中JC为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。(3) 定轴转动刚体惯性力系的简化对于刚体有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面的定轴转动刚体，取转轴与质量对称平面的垂足O为惯性力系的化中心，主矢和主矩为， .解题要领1） 求解力与加速度的关系可以用达朗贝尔原理.2） 根据运动形式在研究对象上虚加惯性力，此惯性力不是物体受到的作用力.3） 因独立的运动学参数个数与系统得自由度相同，因此，常常还需根据约束情况建立运动学补充方程，方程组才封闭.3 定轴转动刚体的
8、轴承动约束力惯性力系向点O简化，其主矢和主矩分别为，式中Jz为刚体对轴z的转动惯量，为刚体对轴x, z和轴y, z的惯性积。如果Jxz = Jyz = 0，则称z为惯性主轴。如果惯性主轴通过质心，则称为中心惯性主轴。(1) 如果刚体有质量对称轴，则对称轴是一个惯性主轴，也是中心惯性主轴(2) 如果刚体有质量对称面，则垂直于对称面且原点在对称面上的坐标轴是惯性主轴。刚体绕定轴转动时，轴承动约束力为零的充分必要条件是，刚体的转轴是中心惯性主轴。静平衡是指除重力外，不受其它主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动.的现象.动平衡是指转轴是中心惯性主轴时刚体转动时不会引起轴承动约束力的现象.三、碰撞问
9、题1 碰撞问题的两点简化：(1) 在碰撞过程中，非碰撞力忽略不计。(2) 碰撞过程物体的位移忽略不计。恢复因数：恢复冲量与压缩冲量的大小之比值，即，为完全塑性碰撞，为完全弹性碰撞，为弹性碰撞。2 碰撞分类：(1) 碰撞前两物体碰撞接触点的速度v1和v2均沿碰撞法线方向n，称为正碰撞，否则为斜碰撞。(2) 如果碰撞时，两物体的质心在碰撞法线上，称为对心碰撞，否则为偏心碰撞。3 碰撞时的冲量定理式中p1和p2分别为质点系在碰撞前后的动量，I(e)为外碰撞冲量的矢量和。4 碰撞时的冲量矩定理式中LO1和LO2分别为质点系碰撞前后对固定点O的动量矩，为外碰撞冲量对固定点O的矩。5 对质心的冲量矩定理.
10、撞击中心到悬挂点的距离为 ，其中为刚体对悬挂点的转动惯量，为质量，为质心到悬挂点的距离。撞击中心和悬挂点是互为的。解题要领1） 确定研究对象，即碰撞的两物体.2） 明确碰撞的类型，碰撞点在碰撞前后的速度变量.3） 根据碰撞冲量定理和碰撞冲量矩定理建立碰撞动力学方程.4） 碰撞动力学方程一般不封闭，还需根据恢复因数定义和运动学关系建立补充方程.第八章 质点系动力学：矢量方法 习题解答题8-1图8-1 一个质量为5 kg弹头M以水平速度v = 60 m/s飞行，在D处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A和B。已知碎片A的速度大小vA = 90 m/s。试求：(1) 碎片A的质量mA；(
11、2) 碎片B的速度大小vB。解：取弹头M为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 解得 ，代入数据得：，.8-2 一个质量为m1的人手里拿着质量为m2的物体，以仰角q，速度v0向前跳起。当他到达最高点时将物体以相对速度u水平地向后抛出。如果不计空气阻力，问由于物体的抛出，跳远距离增加了多少？解：取m1和m2物体系统为研究对象，人跳至最高点时只有水平速度 ，所费时间 。抛物前后系统水平动量守恒，即 ，式中为抛物后人的速度。解得 ，可见，人的速度增量为，从而跳远距离增加题8-3图 .题8-3受力图8-3质量为m1的平台AB放在水平面上，平台与水平面间的滑动摩擦因数为f。质量为m2的小车D由绞车拖动，相对平
12、台的运动规律为，其中b为已知常数。不计绞车质量，求平台的加速度。解：1）设平台与水平面间的滑动摩擦因数比较小，当小车D相对平台运动时，平台AB的有速度（向左），小车D的相对速度，（向右），小车D的绝对速度，（向右），滑动摩擦力为 由动量定理， 解得 ， .当时，.题8-4图8-4 质量为m1的矩形板可在如图所示的光滑水平面上运动。矩形板上有一半径为R的圆形凹槽，一质量为m2的甲虫以相对速度vr沿凹槽匀速运动。初始时，板静止，甲虫位于圆形槽的最右端（即q = 0）。试求甲虫运动到图示位置时，板的速度和加速度、地面作用在板上的约束力和系统质心的加速度。解：甲虫和矩形板组成的系统为研究对象，即系统的
13、水平动量守恒. 因初始系统静止，所以有，在任意瞬时有题8-4受力图 ，解得板的速度，上式对时间求导得板的加速度 其中用到关系 .显然，因系统的水平动量守恒，所以系统质心的水平加速度为零，系统质心的铅垂加速度为，列出铅垂方向的动力学方程题8-5图 从而地面作用在板上的约束力.8-5 一人A的质量为m，以相对于绳为vr的速度匀速向上爬，此绳绕过一个定滑轮，在另一端悬挂一质量也为m的物体B。设初始时人静止不动，如图所示。如果绳不可伸长，绳子与滑轮的质量不计，轴承与滑轮之间的摩擦也忽略不计，求重物运动的速度以及定滑轮轴承O处的约束力。解：取人A和物体B及滑轮组成的系统为研究对象， ， ，即系统对O点的
14、动量矩守恒. 因初始系统静止，在任意瞬时，解得重物运动的速度为 ，由于重物和人的加速度都为零，所以定滑轮轴承O处的约束力为 .题8-6图8-6 如图所示，为测定半径为R的飞轮A对于通过其中心轴O的转动惯量J，在飞轮上绕以系绳，绳的末端系一质量为m1的重锤，重锤自高度h处落下，测得落下时间为t1。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2的重锤作第二次试验，测得下落同一高度的时间为t2。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，求飞轮的转动惯量J的计算公式。解：取飞轮和重锤组成的系统为研究对象.设飞轮角速度为，则重锤的速度为，系统对飞轮转轴的动量矩和力矩分别为，由动量矩定理 ，导出 解得重锤的加速度 ，于是，将数据代入，导出 解得飞轮的转动惯量为 ，摩擦力矩为 .题8-7图8-7 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一不可伸长绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，直线绳段铅垂，如图所示。绳重不计，摩擦不计。求：(1) 圆柱B下落时质心的加速度
