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1、22.2.4一元二次方程的根与系数的关系说课教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）九年级上册第二十二章第四节：一元二次方程根与系数的关系设计理念：根据教材内容在教学中渗透高效课堂的思想，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。教材简析：一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系
2、数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。根与系数的关系是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过根与系数的关系的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用根与系数的关系可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；根与系数的关系对后面函数的学习研究也是作用非凡。通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：根与系数的关系及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综
3、合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过根与系数的关系的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。教学目标：1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过根与系数的关系的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的
4、态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重难点、教学疑点及解决办法：1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。3教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。4解决办法:在实数范围内运用根与系数的关系，必须注意b2-4ac0这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数不为零。因此，解题时，要根据题
5、目分析题中有没有隐含条件。教学对象分析：本课的教学对象是初中九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以，在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，如：教学课件，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学资源：多媒体课件教法与学法：（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历根与系数的关系的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“实践（练习）观察发现猜想证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、分小组讨
6、论交流，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。教学过程设计：（一）问题引探问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。板书课题：一元二次方程根与系数的关系问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么
7、结论（现象）？出示卡片问题3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-8=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_。问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1= ，x2= 。则x1+x2= + = ；x1 x2= =板书：如果ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2=
8、 。由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。板书：问题6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；当a0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；当a0时，=b2-4ac可判定根的情况；当a0，b2-4ac0时，x1+x2= ，x1x2= 。 当a0，c=0时，方程必有一根为0。设计意图：1、本设计采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学
9、生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。（二）尝试发展多媒体展示：试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _ （3）5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _ （此试一试作为巩固知识而用）尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根
10、为-1，求它的另一个根及k的值。组织学生自己分析解决，然后一学生板演，其余学生在草稿本上练习。学生练习：P32 2。尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。讨论：解上面问题的思路是什么？得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; .(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)（三）拓展创新1、在尝试2中能否求（x1x2）的值？2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且ab，能否求a+b与ab的值？设计意图：1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学
11、生思维严谨性和批判性；（4）小题是起过渡作用设计。2、尝试题1、2让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。（四）师生共同归纳小结：本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a0，b2-4ac0时，x1+x2= ，x1x2= 。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。（五）作业优化设计：P33A 1、2 B 1（1）巩固练习：已知等腰三角
12、形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个根，此三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。2、已知关于x的方程x22mx+ m2=0.其中x1、x2分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.（1）求证这个方程有两个不相等实数根.（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个等腰三角形的边长。3、已知关于x的方程x23x-8=0的两根分别是x1、x2，求：（1）x1 - x2的值（2）x12 + x2 2的值 板书设计：一元二次方程根与系数的关系如果ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。问题6.在方程ax2+bx+c=
13、0（a0）中，a、b、c的作用吗？二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；当a0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；当a0时，=b2-4ac可判定根的情况；当a0，b2-4ac0时，x1+x2= ，x1x2= 。 当a0，c=0时，方程必有一根为0。教学设计思路说明：1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
