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1、3 3 4 3 万有引力与航天一、求天体的质量(或密度）Mm1根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由 mg=G 得R 2M =径R 2 gG。式中 M、g、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半已知一名宇航员到达一个星球，在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为 G ,1在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为 G ,经测量该星球的半径为 R,物体的质量为 m.求:2该星球的质量.G设星球的质量为 M，物体在两极的重力等于万有引力，即Mmr 2=G ,2解得M =G R 22Gm.2根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径,求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的
2、向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得Mm v 2 4p2 G =m =mrw2 =mrr 2 r T 2。若已知卫星的轨道半径 r和卫星的运行周期T、角速度w或线速度 v，可求得中心天体的质量为 M =rv 2 4p2 r 3 w2 r 3 = =G GT 2 G例、下列几组数据中能算出地球质量的是(万有引力常量 G 是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 rB.月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 rC。月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 rD.月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r解析要区分天体半径和天体圆周运动的轨
3、道半径已知地球绕太阳运行的周期和 地球的轨道半径只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量，所以 A 项不对已知月 球绕地球运行的周期和地球的半径,不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以 B 项不对已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由MmG =mrw 2 r 2可以求出中心天体地球的质量，所以 C 项正确由Mm 4p 2G =mrr 2 T 2求得地球质量为M =4p 2 r 3 GT 2，所以 D 项正确3。 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，是地球的 25 倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量 G=6.67
4、10-11N m2/kg2，由此估算该行星的平均密度为（ D）A。1。810kg/m3B。 5。610kg/m3C。 1。110 kg/mD。2。9104kg/m3解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供Mm 4p 2 R G =mR 2 T 23M,可求出地球的质量.然后根据 r= ，可得该行星的密度约为4pR32。9104kg/m3。二、人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题根据人造卫星的动力学关系Mm v 2 4p2 G =m =mrw2 =mr =r 2 r T 2ma可得GM GM 4p2 r 3 GM v = , w = , T = , a
5、 =r r 3 GM r 2由此可得线速度 v 与轨道半径的平方根成反比；角速度 w 与轨道半径的立方的平 方根成反比,周期 T 与轨道半径的立方的平方根成正比;加速度 a 与轨道半径的平方成反 比例 1、两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动，周期之比为 比和运动速率之比分别为（ ）TA: TB=1: 8,则轨道半径之A。 R : R =4 :1, v : v =1: 2A B A BC。 R : R =1: 4, v : v =2 :1A B A BB 。 R : R =4 :1, v : v =2 :1A B A BD。 R : R =1: 4, v : v =1: 2A B A B解析
6、由T =4p 2 rGM3可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由 T : T =1: 8 A B可得轨道半径 R : R =1: 4A B，然后再由 v =GMr得线速度v : v =2 :1 。所以正确答案为 C 项A B例 2、如图 1 所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R（R 为地球半 径）.下列说法中正确的是( CD )A.a、b 的线速度大小之比是 21 B。a、b 的周期之比是 122C.a、b 的角速度大小之比是 3 64 D。a、b 的向心加速度大小之比是 94例 3、发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道
7、。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近 （B )A地球的引力较大C重力加速度较大B地球自转线速度较大D地球自转角速度较大解析:由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道,在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大,发射时较节能，因此 B 正确。三、地球同步卫星问题卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）与地球的自转周期 相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方 向自西向东，运动周期为 23 小时 56 分（一般近似认为周期为 24 小时）,由Mm 4p2G =mrr 2 T 2得人造地球同步卫星的轨道半径 r
8、 =4.24 104km,所以人造同步卫星离地面的高度为3.6 10 4 km,利用 GMm v 2=m 可得它运行的线速度为 3.07 km/s。 r 2 r总之，不同的人造地球同步卫星的轨道、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同 的不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力人造地球同步卫星相对地面 来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道例、关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（D )A。已知它的质量是 1。24 t,若将它的质量增为 2。84 t，其同步轨道半径变为原来的 2 倍B。它的运行速度为 7.9 km/sC.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利
9、用其进行电视转播D。它距地面的高度约为地球半径的 5 倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的136解析同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关所以 A 项错误因 为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于 7.9 km/ s，而卫星的线速 度随轨道半径的增大而减小,所以同步卫星的线速度一定小于 7.9 km/s,实际计算表明它 的线速度只有 3。07 km/s。所以 B 项错误因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京 在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方所以 C 项错误同步卫星的向心加速度a =GM GM，物体在地面上的重力加速度 g = r 2 R 2
10、，依题意 r =6 R，所1a = g36。四、求天体的第一宇宙速度问题在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即v =GMr= Rg，式中的 M、R、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度例 1、若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s,某行星的质量是地球质量的 6 倍,半径是 地球的 1。5 倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）A. 2 km/s B。 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s解析由GMm v 2=mR 2 R得 v =GMR=8 m/s，某行星的第一宇宙速度为v=GM R =6GM1.5 R16 m/s例 2、如图是“
11、嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法 正确的是 ( C )A。发射“嫦娥一号的速度必须达到第三宇宙速度B。在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关C。卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D。在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析 “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星，其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚，故选 项 A 错误；在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,则Mm 4 2 r r 3 G
12、=m , T =2 ,r 2 T 2 GM即卫星周期与卫星的质量无关,故选项 B 错误；卫星所受月球的引力 F =GMmr 2,故选项 C 正确;在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项 D 错误。五、人造卫星的变轨问题发射人造卫星要克服地球的引力做功,发射的越高，克服地球的引力做功越多,发射 越困难所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道（停泊轨道）A，然后 通过点火加速,使之做离心运动，进入一个椭圆轨道（转移轨道）B，当卫星到达椭圆 轨道的远地点时,再次通过点火加速使其做离心运动，进人同步轨道 C。例 1、如图所示，轨道 A 与轨道 B 相切于 P 点，轨道 B 与
13、轨道 C 相切于 Q点，以下说法正确的是（ )A。卫星在轨道 B 上由 P 向 Q 运动的过程中速率越来越小B。卫星在轨道 C 上经过 Q 点的速率大于在轨道 A 上经过 P 点的速率C。卫星在轨道 B 上经过 P 时的向心加速度与在轨道 A 上经过 P 点的向心加速度是相 等D.卫星在轨道 B 上经过 Q 点时受到地球的引力小于经过 P 点的时受到地球的引力解析卫星在轨道 B 上由 P 到 Q 的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以 要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，A 项正确卫星在 A、C 轨道上运行时，轨道半径不同，根据v =GMr可知轨道半径越大，线速度小,所以有 v vP Q,所以 B 项错误卫星在 A、B 两轨道上经过 P 点时,离地心的距离相等,受地球的引力相等，所以加 速度是相等的，C 项正确、卫星在轨道 B 上经过 Q 点比经过 P 点时离地心的距离要远 些,受地球的引力要小些，所以 D 项正确例 2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变
