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1、(word完满版)数列基础知识归纳,文档年级：高一科目：数学必修4第课时班级姓名制作人：刘源光组长制作日期：2021、 9、5必修 5数列础知识归纳数列的定义数列的见解数列的分类数列的性质等差数列与等比数列的见解等差数列与等比数列等差数列与等比数列的性质等差数列与等比数列的根本运算数列倒序相加错位相减数列的求和裂项相消其他方法数列应用一、数列的有关见解：1数列的定义：按必然次序排列的一列数叫做数列(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项记作 an，在数列第一个地址的项叫第 1 项(或首项 )，在第二个地址的叫第 2 项， ，序号为 n 的项叫第 n 项 (也叫通项 )，记作 an(2) 数列的一
2、般形式： a1，a2，a3， ， an， ，简记作 an 2通项公式的定义：若是数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系能够用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式说明： (1) an 表示数列， an 表示数列中的第n 项， an = f(n)表示数列的通项公式；(2) 同一个数列的通项公式的形式不用然唯一比方，an = ( 1)n = 1,n 2k 1(k Z) ；1,n2k(3) 不是每个数列都有通项公式比方， 1， (4) 从函数见解看，数列实质上是定义域为正整数集N*( 或它的有限子集 )的函数 f(n)，当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值常用 an
3、来代替 f(n)，其图象是一群孤立的点f(1)，f(2)，f(3)， ，f(n)， 通3数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无量分：有穷数列和无量数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列 (递加数列、递减数列 )、常数列和摇动数列4递推公式的定义：若是数列 an 的第 1 项(或前几项 )，且任一项 an 与它的前一项 an 1 (或前几项 )间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式数列n的前n项和的定义： n123nak 称为数列 an的前n项和要n5 a S = a + a + a + +a =k1nn理解 S与 a 之间的关系6等差数列的定义：一
4、般地，若是一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ，那么年级：高一科目：数学必修4第课时班级姓名制作人：刘源光组长制作日期： 2021、 9、5这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差平时用字母d 表示即： an为等比数列n + 1nn + 1nn + 2nn2aa = d 2a= a + aa = kn + b S = An + Bn7等比数列的定义：一般地，若是一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比 公比平时用字母 q 表示 (q0)，即： an 为等比数列an + 1： an
5、= q (q0)2an an2 an 1注意条件 “从第 2 项起 、“常数 q由定义可知：等比数列的公比和项都不为零二、等差、等比数列的性质：等差数列 (AP)等比数列 (GP)通项公式an1n1n 11，= a + (n 1)da = a q (a 0 q 0)n(a1an )n(n 1) dna1 , q1,前 n 项和Snna1Sna1 (1 qn ), q1.221qan = am + (nm)d m + n = s + t，那么 am + an = as + at性质Sm， 2mm， 3m2m， 成SS SSAP an = amqn mm + n = s + t，那么 am n s
6、ta = aaSm， 2mm， 3m2m， 成GPSS SS(q1 或 m 不为偶数 )ak， k + m， k + 2m， 成AP，dak， k + m， k + 2m， 成maa= mdaaGP，q = q注： 1等差 (等比 )数列 an 的任意等距离的项组成的数列仍为等差(等比 )数列2三个数成等差的想法： a d，a，a + d；四个数成等差的想法： a 3d，a d，a + d， a + 3d；， ， ；四个数成等比的错误想法：3，a/q，aq，aq3(为3三个数成等比的想法： a/q a aqa/q什么？ )ncan(c 0)是等比数列4 a 为等差数列，那么5 bn ( bn
7、0)是等比数列，那么 log cbn ( c 0 且 c1) 是等差数列6公差为 d 的等差数列 an 中，假设 d 0，那么 an 是递加数列；假设d = 0，那么 an 是常数列；假设 d 0，q 1 或 a1 0，0 q 1 时为递加数列；(2) 当 a1 1 或 a1 0，0 q 1 时为递减数列；(3) 当 q 0， d 0 时， Sn 有最大值； a1 0 时， Sn 有最小值(2) Sn 最值的求法： 假设 Sn，可用二次函数最值的求法 (n N*) ； 假设 an，那么 n 取最值时n的值(nN*)能够下确定：n 最大值 an0(或n 最小SSSan 10值 an0)an10三
8、、常有数列通项的求法：1定义法 (利用 AP，GP 的定义 )2累加法 (an + 1an = cn 型)：an = a1 + (a2 a1) + (a3 a2) + + (an an 1) = a1 + c1 + c2+ cn 1(n2)年级：高一科目：数学必修4第课时班级姓名制作人：刘源光组长制作日期： 2021、 9、53公式法： anS1(n1) SnSn 1 (n2)4累乘法 ( an 1cn 型 )：an = a1a2a3Lan= a1c1c2cn1(n2)an= qaa1a2an10)型，转变为 a+ x = q(a + x)可5待定系数法： a+ b (q0，q1，bn + 1
9、nn + 1n以将其改写变形成以下形式：an + 1 + b= q(an +b)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式q1q16间接法 (比方： an + 1an = 4an + 1an114 )an1an四、数列的求和方法： 除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：1拆项求和法 (a= bnc )：将一个数列拆成假设干个简单数列(如等差数列、等比数列、nn常数数列等等 )，尔后分别求和如nna= 2n + 32并项求和法：将数列的相邻两项 (或假设干项 )并成一项 (或一组 )先求和，尔后再求 Sn如“ Sn122232425262L(2 n1)2(2 n)2 的求和= f(n + 1)f(n)，使得正3裂项相消法：将数列的每一项拆 (裂开 )成两项之差，即 an负项能互相抵消， 剩下首尾假设干项 用裂项相消法求和， 需要掌握一些常有的裂项，如： an( An1C ) C1
