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1、平行度误差的关键问题探讨与软件测试林 翔（福建商业高等专科学校 福建福州 350012）【摘要】平行度误差评定的关键在于基准拟合，其拟合精度决定误差评定结果之精度。对于平面基准和空间直线基准，数模重新整定，寻求全新算法，并论证其对“最小条件”要求的符合性，且通过了对程序进行的大量算例测试。在高精度基准拟合确定基础上，研发功能完全的平行度误差评定软件，经大量算例测试表明了其评定结果的高精度性。【关键词】平行度误差;基准拟合;最小条件;软件测试;高精度Research on the Parallelism Error and Software TestingLIN Xiang (Fujian Co
2、mmercial College, Fuzhou, Fujian, 350012)Abstract: Baseline fitting is a key factor in parallelism error evaluation and the fitting accuracy can influence evaluation results. The paper uses data mold to construct datum and space straight-line basis to find new algorithm, prove the requirements of th
3、e minimum conditions, and is tested by a large number of the algorithm. Based on the high-precision baseline fitting, the software of parallelism error evaluation is designed and the high-precision of evaluation result is assured by the testing.Key words: parallelism error; baseline fitting; minimum
4、 conditions; Software testing; high-precision一、平行度误差的关键问题任何一种定向误差评定的关键问题，不外乎基准的确定，空间平行度误差的评定也不例外。探讨空间平行度误差评定，按基准来区分，要考虑有2大类4种情况：一类是基准为空间平面，被测对象分空间直线和平面2种，可简称为“线对面”平行度误差、“面对面”平行度误差；另一类是基准为空间直线，被测对象同样也分空间直线和平面2种，简称为“线对线” 平行度误差、“面对线”平行度误差。1、如果基准是已知的，是精确给定的，按文献1规定上述4种问题的解决相对简单一些：“线对面”、“面对面”：只要求出被测直线或被测平
5、面上所有测量点到基准平面的最大距离与最小距离，二者之差即为其平行度误差值；“线对线”：以基准直线的方向矢量为法矢作一平面，令被测直线上所有测量点投影到该平面，对所有投影点求最小外包圆，则此圆之直径即为其平行度误差值；“面对线”：以基准直线的方向矢量为法矢作一平面，令被测平面上所有测量点投影到该平面，对所有投影点求二维直线度误差，则此直线度误差值即为平行度误差值。因此在基准已经给定时，上述4种情况下求平行度误差的核心问题是求“最小外包圆”直径与“二维直线度误差”，而此二问题的求解在文献2、3中已有详细阐述，且所求的最小外包圆直径与二维直线度误差值的精度非常高，可以直接引用，此处不作赘述。2、如果
6、基准未明确给出，而是通过测量得到的，那么就必须先对基准的测量点集进行平面拟合或空间直线拟合，以确定基准，进而按上一部分所述的4种情况处理，最终求出相应的平行度误差值。显然，这种情况下基准的拟合认定，就成为了误差评定的关键。国标1规定“由基准要素建立基准时，基准为该基准要素的拟合要素。拟合要素的位置应符合最小条件”。 按此要求，基准为空间直线的，可以引用文献4提供的方法求取，以该算法得出的空间直线度误差符合“最小区域”原则，因此所拟合的直线必然符合“最小条件”要求。从文献4罗列的算例来看，其空间直线度误差评定的精度极佳，超过目前业界绝大部分常见的主流软件。基准为平面的，也同样要对平面测量点集进行
7、平面拟合，拟合的硬指标也是要符合“最小条件”原则，以下对此关键问题展开探讨。二、基准平面拟合基准平面上测量点集P=Pk(xk, yk, zk)，k=1n，设基准的拟合平面为0，其法矢记作(l，m，1)，按文献1关于“最小条件”的规定，求0其实就是求“平面度误差”的过程，而且求取平面度误差的算法必须符合“最小区域”原则，这样求得的拟合基准平面0才满足要求，可以作为基准使用。“平面度误差”属于形位误差中之形状误差范畴，现行的平面度误差算法很多，如借助matlab5、LABview6等专业软件包或著名的“PC_DMIS”软件7来设计算法的，也有利用改进蜂群算法8来开发算法的，但其中符合“最小区域”原
8、则的高精度算法乏善可陈，有的算法过程复杂却难以实用，有的甚至不具备收敛于“最小区域”的机制。为此，有必要针对关键问题重新建立数学模型并寻求符合“最小区域”原则的算法。1、平面拟合的数学模型点集P为平面上n个测量点之集合，P=Pk(xk, yk, zk)，k=1n，拟合平面方程为0：，P中任一点Pk至0的距离为：k=|, (k=1n)；按“最小区域”原则，拟合平面的目标函数：=max(k)+min(k)，(k=1n)；令目标函数f= min()成立，就可求出平面0的各个参数l、m、d，所得的0就是符合“最小条件”的拟合基准平面。2、计算方法f= min() 是离散型的，可以求其数值解，使得f趋于
9、极小，即f=- min。算法的思路是先以“最小二乘平面”求取初始的拟合平面0，获得初始平面度误差0值；然后不断有意识地改变初始平面0（指0法向量(l,m,1)），使初始0朝着可能降低0值的方向转动，从而使计算过程达到0值趋于min的目的。显然，算法的关键是在后面的过程。不妨记以“最小二乘平面”拟合得到的初始平面0: ，点集P中距初始0距离最大者为Pi、最小者为Pj，对应的距离为i、j，Pi、Pj在0的投影点分别为Ai、Aj，自然AiPi=i，AjPj=j，记0=|i|+|j|，如图一所示。沿AiPi距Ai距离远处取点Ai，AiAi=（是一个甚小值）；同样在AjPj上取点Aj，AjAj =；记A
10、iAj中点Aij，于0上求点Aij，满足AijAijAiAj。以Ai、Aj、Aij三点作新 图一 初始拟合基准平面与测点关系平面0，易见0系0绕AijAij做微小转动之后得到的。0由0转动获得，目的是使值下降，这一点需要证明：记共面线段PiAi、PjAj构成的平面为1，如图二所示，Pi至0的距离i，Pj至0的距离j；观察PiAi Ai、PjAj Aj，PiAiAi、PjAjAj均为钝角，故ii、jj，是有=|i|+|j| |i|+|j|=0，由此得证。并不是平面0的平面度误差，因此究竟转动得到的0能否把0降下来，还需通过P对0计算平面度误差值，并与0作比较，并分以下3种情况进行判断：1） 若0
11、，平面0取代平面0，然后再依上法对平面0作微小转动；2） 若0，则减小值，重新在原0基础上求0，再通过点集P对0计算值，判断0是否成立： 图二 0、0与各测点及投影点关系 a）如果成立，类同1）情况，按1）操作； b）如果不成立，继续减小值，重新在原0基础上求0，并返回1）； 3） 若已减小为非常小的值，达到精度要求，也不能经转动0而把0降下来，则计算过程终止，0就是所求的拟合基准平面。0是依“最小区域”原则求取得到的，因此满足“最小条件”要求。3、基准平面拟合算法框图开始输入基准平面测量点集P=Pk，（k=1n）及以“最小二乘平面”算法求初始拟合平面0之各参数l、m、d值,及0以在平面0基础
12、上求取平面0，以点集P=Pk，（k=1n）计算0取代00yN足够小 Ny=/2输出0的法矢（l,m,1），及平面度误差值0结束 4、编程与测试按照上述算法框图，笔者用C语言编程，并收集了50多个关于“平面度误差”的算例加以验算。从国标1易知，对于给定的点集，平面度误差的评定值越小，则拟合的平面越符合“最小条件”。软件经过50多个算例测试，结果均表明以本算法计算得到平面度误差值都等于或小于原文的值，说明本算法拟合的平面更加理想。兹随选若干算例略作比较说明：文献59中各给出了一个平面度误差算例，原文得到的误差值依次是：8.971m、2.0268m、0.59571mm、0.15487mm、0.075
13、3928；用本算法进行计算，平面度误差依次为8.971m、1.9143m、0.577350mm、0.15487mm、0.065163。显然本算法求得的平面度误差值精度更高，因此求得的相应的拟合平面更符合“最小条件”。三、平行度误差软件测试1、平行度误差计算解决了高精度的“空间直线拟合”、“平面拟合”问题，也就解决了平行度误差评定中基准拟合的关键问题，平行度误差评定所涉及的4种类型，都迎刃而解了：“线对线”：以文献4的方法拟合基准直线，在此基础上以文献3求最小外包圆，输出直径值；“面对线”：同上法拟合基准直线，在此基础上以文献2求二维直线度误差，输出该值；“线对面”、“面对面”： 以本文前述的方
14、法拟合基准平面，基于此基准平面求出被测对象上所有测量点至基准的最大、最小距离，求出二者之差并输出。2、编程与测试平行度误差高精度评定软件用C语言编程，功能包括上述4项。通过数十个算例的测试，结果表明该软件是稳定可靠的，计算得到平行度误差值具有高精度性。以下针对上述4种类型选5个算例略作说明。“线对线”：文献10给出的算例，其基准直线上分布9个测量点，被测直线上有5个测量点。原文的平行度误差为0.740598m；本软件计算得到的平行度误差为2.057695m（基准的直线度误差为3.701226m）；“面对线”：依然是文献10的算例，基准直线上分布9个测量点，被测平面有16个测量点。原文的平行度误差为10.678857m；本软件计算得到的平行度误差为5.69515m（基准的直线度误差为0.544669m）；“线对面”：还是文献10的算例，其基准平面上分布9个测量点，被测直线上有8个测量点。原文的平行度误差为0.659m；本软件计算得到的平行度误差为13.384616m（基准的平面度误差为6.307692m）；“面对面”：文献11给出的算例，其基准平面、被测平面上各有9个测量点。原文的平行度误差为64.2m（基准平面度误差为32.9501）；本软件计算得到的平行度误差为64.199967m（基准的平面度为32.9250m）。文献12给出的“面对面”算例，其基准平面、被测平面
