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1、考点15 三角函数的图象与性质（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函
2、数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的
3、周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2函数（A0,0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.3函数（A0,0）的物理意义当函数（A0,0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的
4、最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数 （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定【注】函数，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后求解【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一 三角函
5、数的图象及其性质1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinxbcosxk的三角函数化为y=Asin(x)k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=asin2xbsinxk的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设t=sinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)3三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间求函数的单
6、调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y=Asin（x）或y=Acos（x）（其中，0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0）的最小正周期为4，则A函数f（x）的图象关于点对称B函数f（x）的图象关于直线x=对称C函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称D函数f（x）在区间（0，）内单调递增【答案】C故选C.2已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，试求的最值，并写出取得最值时自变量的值考向二 三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sin x，y=Asin(x)或y=Ac
7、os(x)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为x|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例3 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点A向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；
8、要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则的最小值是ABCD考向三 函数的图象与性质的综合应用1结合图象及性质求解析式y=Asin(x)B(A0，0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求，已知函数的周期T，则. （3）求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)五
9、点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x=；“第四点”(即图象的“谷点”)为x=；“第五点”为x=2.2图象变换的综合问题（1）图象变换与解析式的综合问题，要特别注意两种变换的区别（2）图象变换与性质的综合问题，可根据两种图象变换的规则，也可根据图象的变换求出变换后的函数解析式，再研究函数的性质3函数图象与性质的综合问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式为y=Asin(x)B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究
10、其相关性质4三角函数模型的应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.典例4 函数f（x）=sin（x）（其中|的图象如图所示，为了得到y=sinx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】A 4已知把函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位得到函数的图象（1）求的最小值及取最小值时的集合；（2）求
11、在时的值域；（3）若，求的单调增区间典例5 已知向量，且函数.（1）当函数在上的最大值为3时，求的值；（2）在（1）的条件下，若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值，并求函数在上的单调递减区间.【答案】（1）;（2）.综上：函数在上的最大值为3时，.（2）当时，由的最小正周期为可知，的值为.又由可得，函数在上的单调递减区间为.5已知向量，函数的最大值为.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角的对边分别为，若恒成立，求实数的取值范围.1下列函数中，最小正周期为的偶函数是Ay=sin(2x) By=cos(2x)Cy=sin 2xcos 2x Dy=sin xcos
12、 x2函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A BCD 3将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A BC D4关于函数（），下列命题正确是A由可得是的整数倍B的表达式可改写成C的图象关于点对称D的图象关于直线对称5若函数（，）的图象与直线无交点，则A B C D6若函数在区间上是减函数，学.则的取值范围是A B C D7函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间()上的值域为，则等于A B C D8已知函数给出下列命题：为奇函数；，对恒成立；，若，则的最小值为；，若，则其中的真命题有A
