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1、 第17讲 直线与圆 对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。-庞加莱知识纵横 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来鉴定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和鉴定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识相应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知，是的中点，O与分别相切于点与点点是O与的一个交点，连并延长交的延长线于点则= （杭州市中考题）思绪点拨 连,，先求出的长。【例2
2、】如图，在等腰三角形中，为底边的中点，认为圆心作半圆与相切，切点分别为过半圆上一点作半圆的切线，分别交于那么的值等于（）A. B. C. D .（天津市竞赛题）思绪点拨 分别从点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻与的关系式关键。【例3】如图，已知直线交O于两点，是O的直径，点为O上一点，且平分，过作，垂足为（1）求证：为O的切线；（2）若，O的直径为，求的长度（2023芜湖市中考题）思绪点拨 对于（2），在（1）的基础上，设，则，由角平分线性质或垂径定理建立的方程。【例4】如图，已知O的半径为，射线通过点，射线与O相切于点两点同时从点出发，点以的速度沿射线方向运动，点以的速度沿射线方向
3、运动设运动时间为（1）求的长；（2）当为什么值时，直线与O相切。（南京市中考题）思绪点拨 对于（2），把相关线段用的式子表达，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关键。【例5】如图，已知三角形内接于O，为O的切线，作交于，连接并延长交于F,求证：（太原市竞赛题）分析 要证明，只需证明即可，连，将问题转为证明动态思维【例6】如图，已知点，通过两点的直线以每秒个单位的速度向下作匀速平移运动，分别交轴、轴于两点，与此同时，点从点出发，在直线上以每秒个单位的速度沿直线向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表达点的坐标；（2）过作于，过作于，问：为什么值时，认为圆心、为半径的
4、圆与直线相切？并说明此时P与直线的位置关系（无锡市中考题）分析 问题涉及平移点的运动，把相关线段用的式子表达是解题的基础，而化动为静（画出相切时图形），分类讨论（P在左侧与相切）是解题的关键。学历训练基础夯实1. 如图，与O相切于点,的延长线交O于点，连接若，则 度（河北省中考题）第1题第2题第3题2如图，M与轴相交于，与轴相切于点，则圆心的坐标是（）（沈阳市中考题）3. 如图，切O于点，点是O上一点，且，则= 度（河南省中考题）4.如图，直线相交于点，半径为1cm的P的圆心在射线上，开始时，假如P以1cm/秒的速度沿由向的方向移动，那么当P的运动时间（秒）满足 条件时，P与直线相交第4题（甘
5、肃省中考题）5.已知，与O相切于，点是圆上异于的一动点，则的度数是（）A65B115C65和115D130和506.如图，已知两点的坐标分别为，C的圆心坐标为，半径为1若是C上的一个动点，射线与轴交于点，则面积的最大值是（）A B C D 第6题（苏州市中考题）第7题7. 如图0的半径为2，点的坐标为直线为O的切线，为切点，则点的坐标为（）A. B C D （威海市中考题）8.已知：如图，为O的直径，为O的切线，为切点，交O于点，的延长线交于点，连接以下结论：；点为的内心；其中对的的只有（）ABCD第8题9.如图，直线交轴与点，交轴于点，过两、两点。（1） 如图，若交于点,当在上时,求弦的长。
6、（2） 如图，当与直线相切于点时，求圆心的坐标。（3） 当平分的外角时，请画出图形，并求的半径长。10.如图，在中，的平分线交与点，交于点（1）设O是的外接圆,求证：是O的切线；（2）设O交于点，连接，求的值第10题 （芜湖市中考题）能力拓展11.如图，为半O的直径，为半圆弧的三等分点，过，两点的半O的切线交于点，若的长是，则的长是 第11题（浙江省竞赛题）12.如图，在中，O分别与相切于点，圆心在上，若，则O的半径等于 13. 如图，是圆的直径的延长线上的一点，与圆相切于点，的平分线交于点Q，则= 第13题第12题（四川省竞赛题）14.如图，正方形的边长为，认为直径向正方形内作半圆，与是半圆
7、的切线，为切点，交于点则= ，的面积是 第15题第14题第16题15. 如图，已知直线l的解析式是，并且与轴、轴分别交于两点一个半径为的C，圆心从点开始以每秒个单位的速度沿着轴向下运动，当C与直线l相切时，则该圆运动的时间为 （衡州市中考题）16. 如图在边长为的正方形中，分别是的中点，认为圆心，认为半径画弧是弧上的一个动点，连接，并延长交线段于点，过点作O的切线，分别交射线于点，交直线BC于点G若，则= （金华市中考题）17. 如图，已知是半圆的直径，为过点的半圆的切线，在弧上任取一点（点与不重合），过点作于，是的中点，连接并延长交于点，连接（1）当点是弧的中点时（如图1），求证：直线是半圆
8、的切线；（2）当点不是弧的中点时（如图2），试猜想直线与半圆的位置关系，并证明你的猜想（苏州市中考题）18.如图，BAC=90，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点直线AE与l相交于点D（1）假如AD=10，BD=6，求DE的长；（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不规定证明）无论点E如何变化，总有BD=BF请你就上述三种情况任选一种说明理由（河北省中考题）19. 如图，在等腰中，已知,的平分线与边交于点，、分别为的内切圆与边的切点，作,交圆于点.证明:是圆的切线。（全国初中数学竞赛题）综合创新20.如图，AB是O的直径，AB=d，过A作O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC叫O于点D，BD的延长线交AC于E（1）求证：CD=AE；（2）求AE的长（四川省竞赛题）21.如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值？若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若，求ABC的周长（广州市中考题）
