《高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.2 单位圆与三角函数线学案 新人教B版必修4.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.2 单位圆与三角函数线学案 新人教B版必修4.doc（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.2单位圆与三角函数线 学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识链接1什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)2带有方向的线段叫有向线段有向线段的大小称为它的数量在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同即同向时，数量为正；反向时，数量为负预习导引1三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的定义域是R；正切函数ytan x的定义域是x|xR
2、且xk，kZ2三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于P点过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线记作：sin MP，cos OM，tan AT.要点一利用三角函数线比较大小例1分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小解如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT.显然|MP|MP|，符号均为正，sinsin；|OM|cos；|AT|AT|，符号均为负，tantan.规律方
3、法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负跟踪演练1利用三角函数线比较asin ，bcos ，ctan 的大小解如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1和的余弦线OM2、正切线AT.由知M1P1M2P2，又M2P2OM2，cos sin tan ，故bac.要点二利用三角函数线解不等式例2利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin ；(2)cos .解(1)如图，作直线y交单位圆于点P、Q，连接OP、OQ，则OP、OQ与单位圆围成的区域即为角的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角的
4、集合为.(2)如图，作直线x和x分别交单位圆于点M，N，P，Q，连接OM、ON、OP、OQ，则OM、ON、OP、OQ与单位圆围成的区域即为角的终边的范围(阴影部分)故满足条件的角的集合为2k2k或2k2k，kZ.规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02间满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪演练2已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，若0,2)，求的取值范围解点P在第一象限内，结合单位圆(如图所示)中三角函数线及02.可知或0，sin2x，sin x.如图所示x (kZ)，即x (nZ).
5、1角(0”或“(2)(3)sin MP；cos OMcos OM；tan ATsin 1.2sin 1.5Bsin 1sin 1.5sin 1.2Csin 1.5sin 1.2sin 1Dsin 1.2sin 1sin 1.5答案C解析1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随角的增大而逐渐增大，sin 1.5sin 1.2sin 1.3函数ytan的定义域为()A.B.C.D.答案C解析xk，kZ，xk，kZ.4设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()Aabc BbacCcab Dac0，aMP0，cATAT.bac，即cab.5cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是(
6、)Asin 1cos 1tan 1Btan 1sin 1cos 1Ccos 1tan 1sin 1Dcos 1sin 1tan 1答案D解析分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设1弧度角的终边与单位圆交于点P(x，y)，x轴正半轴与单位圆交于点A(1,0)，过P作PMOx，垂足为M，过A作单位圆的切线与OP的延长线交于点T，则有OMMPAT，即cos 1sin 1tan 1.6集合A0,2，B|sin 且cos x；(2)tan x1.解(1)由图(1)知：当sin x且cos x时，角x满足的集合：.(2)由图(2)知：当tan x1时，角x满足的集合为：.即.二、能力提升
7、8如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 答案A解析如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OMMPAT，即cos sin 0的解集是_答案解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，.10把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为_.答案cos sin sin 0，sin M2P20，tan AT0，cos OM30.而0M1P1M2P2AT，0sin sin tan .而cos 0，cos sin sin tan .11求函数ylogsin x(2c
8、os x1)的定义域解由题意得，要使函数有意义，则须如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求所以所求函数的定义域为.12利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合：(1)sin ；(2)cos .解(1)由图知：当sin 时，角满足的集合为.(2)由图知：当cos 时，角满足的集合为.三、探究与创新13当时，求证：sin tan .证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，的终边与单位圆交于P，的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MPsin ，ATtan .因为SAOPOAMPsin ，S扇形AOPOA2，SAOTOAATtan ，又SAOPS扇形AOPSAOT，所以sin tan ，即sin tan .11
