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1、2017年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.1.在多项式的展开式中的系数为2.已知,则实数3.设在中有两个实数根,则的取值范围为4.设,且,则5.已知两个命题,命题:函数()单调递增；命题：函数（）若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为6.设是中所有有理数的集合，对简分数，定义函数，则在中根的个数为7.已知动点，分别在轴上，圆和圆上，则的最小值为8.已知棱长为1的正四面体，的中点为，动点在线段上，则直线与平面所成的角的取值范围为9.已知平面向量，满足，若，则所有取不到的值的集合为10.已知方程有三个根若，则实数二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，
2、将答案填在答题纸上）11.设，2，对每个，求的实数解12.已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，两点若的中点为原点，直线交直线于（1）求的大小；（2）求的最大值13.设数列满足：，1,2,3，证明：如果为有理数，则从某项后为周期数列14.设，；，证明：存在不全为零的数，使得和同时被3整除15.设为的一个排列，记，求2017年浙江省高中数学竞赛答案一、填空题1.2.23.4.（）5.6.57.8.9.10.三、解答题11.证明：利用数学归纳法（1）是的解当时，是的解.当时，设，则.由此可得是的解（对于所有的）.（2）当时，当时，当时，设，则由此可得都不是的解（对于所有的）（3）当时，当时，（）.
3、当时，设，则由此可得都不是的解（对于所有的）因此，对每个，的实数解为12.解：（1）联立可得设点的坐标为，点的坐标为，则，于是有因为的中点为，所以，因此的斜率，因为直线交直线于，所以，故的斜率为，即得，因此与垂直，（2）令，则，由于，故.因此（当时取到最大值，也即）综上所述，的最大值为13.证明：（1）若为有理数，则为一个有理数数列（2）对于任意的，设，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：或(*)与有相同的分母（不进行约分）（3）设，则，为整数，由于，1，2,3，因此（4）若存在两个自然数，使得，则由（2）中得到的（*）递推公式以及，1,2,3，可得从第项开始是一个周期数列，周期为（5）由（
4、3）可知对于任意的，的值只有（有限个），故总能找到，使得，从而有综上所述，如果为有理数，则从某项后为周期数列14.证明：不妨设，则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数，使得(*)记，这里情形（1）当时，则，或者，不全为零若，则取，有（*）式成立若，不全为零，不妨设，则取,且即(*)式.情形（2）当或2时，即记，这里，令，则，且不全为零，且，类似可以证明综上所述，可以取到不全为零的数，使得（*）式成立15.解：问题等价于圆周上放置个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为不妨设，则数字1必与它相邻，否则设（，），则可将，的数字改变为，上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为于是可确定再说明数字2也必与数字相邻，即事实上，若（），则交换，为，此时的目标改变值为因此目标取到最小值时，由此出发，依次可得，在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置由此规律即得，
