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1、广东省珠海地区2020年高二数学竞赛试卷时间：9：00-11：00，满分150分注意：可以使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题一、选择题（每题6分共36分，请将正确答案的标号填入下面的表格中）题号123456答案1如果集合，则A的真子集有（ ）个（A）31 （B）32 （C）63 （D）642如果奇函数在区间1，4上是增函数且最大值是5，那么在区间-4，-1上是 （ ）（A）增函数且最大值为-5 （B）增函数且最小值为-5（C）减函数且最大值为-5 （D）减函数且最小值为-53 如果a,b,c都是实数，那么Pac0,是q关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个
2、负根的（ ）（A）必要而不充分条件 （B）充要条件（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件4某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。（A）克 （B）(10.5%)3克 （C）0.925克 （D）克5方程的一个实根存在的区间是（ ）（参考：）（A） （B） （C） （D）6 设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，则（ ）(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.二、填空题（每题6分共72分）7已知，则 _ .8. 经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_ .9. 已知数列，则是它的第_项.10. 将函
3、数的图象C1沿轴向右平移2个单位得到C2，C2关于轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为，则函数= .11. 同时抛一次两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是_.12. 如果 = 4+，那么cot（）的值等于_.13. 已知，则与最接近的正整数是_.14. 已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于 _.15. 等边ABC的边长为，AD是BC边上的高，将ABD沿AD折起，使之与ACD所在平面成1200的二面角，这时A点到BC的距离是 16. 有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时
4、刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是 17. 定义在N上的函数f(x)，满足f (1 )1，且f(n+1)= 则f(22) = 18. 定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：对任何对任何则 三、解答题(共42分)19.（10分）已知点A，点是圆上的动点，为线段的中点，当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程20.（10分）农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公
5、斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？21（10分）用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点22.（12分） 三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若，求角C的大小参考答案时间：2020年12月17日9：0011：00一、选择题（每题6分共36分）1)C 2)B 3)B 4) D 5)C 6)D二、填空题（每题6分共54分）7) 8) 9)25 10)(或等价形式) 11)1/18 12) 13)214)3 15) 16) 17)(或或或其他等价形式) 18）0三解答题（共60分）19(10分)解:设则 （2分） 即 （*）（4
6、分）在圆上， （*）（6分）将（*）代入（*）得（7分）化简得 （9分）动点轨迹方程为： （10分）20（10分）解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得： ，即5而利润P（3400200）x（510080）y960x+420y7所以当x1.5，y0.5时，Pmax9601.54200.51650（元）9即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。1021（10分）证明：在ABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AC的交点为G，设，则，不共线，（2分）设，=（4分），得 （6分） （7分）（9分）CG与CF共线,G在CF上三条中线交与一点。（10分）22（12分）解: 由=cosB，故B=600，A+C=1200。.5于是sinA=sin(1200-C)=，7又由正弦定理有：，.10从而可推出sinC=cosC，得C=450。.12
