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1、长安一中2012届高三开学第一次考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1设，则“”是“”则（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2已知，其中为虚数单位，则（ ）A B1 C2 D33设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）332正视图侧视图俯视图A BC D4已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A B1 C2 D4开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为（
2、）A B C D6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A12 B22 C30 D327已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数=（ ）A2 B5 C6 D78若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）A B C D9函数满足 ，当时，则在上零点的个数为（ ）A1004 B1005 C2009 D201010如图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）A模块， B模块，C模块， D模块，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）OG
3、HEF11已知，则的展开式中的常数项为 12如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）13函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为 14设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， 15（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A在极坐标系中，两点，间的距离是 ATBOPB不等式的解集为 C如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA=2，点P到O的切线长PT=4，则弦AB的长为 三、解答题（本大题共
4、6小题，共计75分）16（12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值17（12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、（1） 求数列的通项公式；（2） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列18（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD=2,PD底面ABCD（1）证明：PABD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值19（12分）设，其中（1）当时，求的极值点；（2）若为R上的单调函数，求的取值范围20（13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取
5、人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求、的值；（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望21（14分）设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在经过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）题号12
6、345678910答案ABDCDCBCBA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）11 12（1）； （2） 13 214 15 A B C6三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16解：（1）因为所以的最小正周期为-6分（2）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值-12分17解：（1）设成等差数列的三个正数分别为依题意，得所以中的依次为依题意，有（舍去）故的第3项为5，公比为2由所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为-6分（2）数列的前项和，即所以因此为首项，公比为2的等比数列-12分18（1）因为=2， 由余弦定理得=从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又
7、PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故 PABD-6分（2）如图，以D为坐标原点，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 即 因此可取=设平面PBC的法向量为，则 ，可取=（0，-1，）， 则 故二面角A-PB-C的余弦值为 -12分19对求导得（1）当时，若，则，解得结合，可知x+0_0+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点-6分（2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此，由此并结合a0，知-12分20解：（1）第二组的频率为，所以高为频率直方图如下： -2分第一组的人数为，频率为，所以由
8、题可知，第二组的频率为03，所以第二组的人数为，所以第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以-6分（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人 随机变量服从超几何分布，所以随机变量的分布列为0123数学期望 -13分21解:（1）依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,故又,从而可得椭圆方程为-6分（2）由题意可设直线的方程为,由知点在线段的垂直平分线上,由消去得,即可得方程（*）当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根设,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有从而有 ,于是,可得线段的中点的坐标为又由于,因此直线的斜率为,由,得，即，解得，综上可知存在直线：满足题意-14分- 1 -
