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1、第 31 页 共 31 页 第一章线性规划及单纯形法1某车间生产甲、乙两种产品，每件甲产品的利润是2元，乙产品的利润是3元。制造每件甲产品需要劳动力3个，而制造每件乙产品需要劳动力6个。车间现有的劳动力总数是24个。制造每件甲产品需要原材料2斤，而乙产品需要原材料1斤，车间总共只有10斤原材料可供使用。问应该安排生产甲、乙两种产品各多少件才能使获得的利润最大？（列出数学模型并化成标准型）2某工厂生产甲、乙两种产品，有关资料如表1-1，问如何确定生产计划，使工厂获得利润最大？（列出数学模型并化成标准型） 表1-1每件产品 产品 消耗资源aij资源i产品 A1产品 A2资源拥有量bi 钢材（公斤）
2、 9 4 3600 铜材（公斤） 4 5 2000专用设备能力（台时） 3 10 3000 利润 cj （元/台） 70 1203. 某工厂能够制造A和B两种产品。制造A产品一公斤需要煤9吨，劳动力3个（以工作日计），电力4千瓦；制造B产品一公斤需要煤4吨，劳动力10个，电力5千瓦。制造A产品一公斤能获利7千元，制造B产品一公斤获利1万2千元，该厂现时只有煤360吨、电力200千瓦、劳动力300个，问在这些现有资源下，应该制造A和B产品各多少公斤，才能获得最大利润？（列出数学模型并化成标准型）4一个车间要加工甲、乙、丙三种零件，加工数量分别为4000、5000和3000。车间内现有I、II、I
3、II、IV四台机床加工此三种零件，每台机床可利用的工时分别为1500、1200、1500和2000。各台机床加工一个零件所需的工时和加工成本分别由下列表1-2，表1-3给出应如何安排生产，才能使生产成本最低？（列出数学模型并化成标准型） 表1-2 表1-3工时 IIIIII IV 甲0.30.250.2 0.2 乙0.20.30.2 0.25 丙0.80.60.6 0.5成本 I II III IV 甲 4 4 5 7 乙 6 7 5 6 丙12 10 8 11 5某工厂的机械加工车间，需要加工1号和2号两种零件。这两种零件可以在三种不同类型的机床上加工。机床台数及生产效率由表1-4给出，要求
4、1号和2号零件在保持1:1的配套比例条件下，合理安排机床在五日内的加工任务，使成套产品的数量达到最大。（列出数学模型） 表1-4 机床类型i 机床台数 日产1号零件 （千件/台） 日产1号零件 （千件/台） 1 30 15 20 2 30 20 30 3 10 30 556假定现有一批某种型号的圆钢筋长8公尺，需要裁取长2.5公尺的毛坯100根，长1.2公尺的毛坯200根，问应该怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少？7某工地要求做100套钢筋，每套为3根，它们的长度分别儿2.9米，2.1米和1.5米；原材料长为7.4米，为应当怎样截割钢筋，才能使所需的原材料根数为最少？（列出数学
5、模型并化成标准型）8某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原料消耗量、机械台时消耗量、资料限量及单位产品利润如表1-5所列。 表1-5产 品材料单耗机械台时单耗单位产品利润元)A1210B1.51.214C41.012资源限量20001000根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200件，250件，100件。如何安排三种产品的生产量，在满足各项要求的条件下，使该厂的利润达到最大。（列出数学模型并化成标准型）9某工厂想要把具有下列成分的几种现成合金混合起来，成为一种含铅30%，含锌20%，含锡50%的新合金。问应当怎样混合这些合金，才能使总费用最省。 表1-6现成合金12345含铅%301
6、0501050含钾%6020201010含锡%1070308040费用（元/公斤）8.56.08.95.78.810 假设有三件任务A、B、C分配三个工人甲、乙、丙去做，各人的工作能力和技术水平不同，因而完成某项工作所取得的效果也不同，三人干各任务的工作如表1-7所示。现在要求每件工作都由一个适当的工人担任，使总效果达到最大。（列出数学模型并化成标准型） 表1-7 效果 工作A 工作B 工作C 工人甲 10 2 4 工人乙 7 8 7 工人丙 3 9 511 某厂生产产品I、II、III，每种产品要经过A、B两道加工工序。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1、A2来表示；有三种规格的
7、设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示。产品I可在工序A和工序B的任何一种规格的设备上加工；产品II可在工序A的任何一种规格的设备上加工，但在完成工序B时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2和B2设备上加工。假定产品I的销售量不超过800单位，已知三种产品在各设备上加工时，单位产品耗用的工时数（单位工时）、原材料费、产品销售价格、各种设备有效台时以及满负荷操作时设备使用费用如表1-8所示。问如何安排生产计划，使该厂的总利润最大。 表1-8设备产品有效台时使用费用（元）IIIIIIA1510-6000300A2791210000321B168-4000250B24-11700078
8、3B37-4000200原材料（元/件）0.250.350.50-单价（元/件）1.252.002.80-12.建立下列问题的线性规划模型：（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-9所示：表1-9产品ABC资源数量原料单耗机时单耗22.5335620002600利润101420另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-10）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。表1-10合金品种12345含铅%含锌%含锡%3060101020705020301
9、01080501040单价（元/kg）8.56.08.95.78.8如何安排配方，使成本最低？（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-11。表1-11班次时间最少人数1234566:0010:0010:0014:0014:0018:0018:0022:0022:002:002:006:00607060502030假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-1所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？图1-113.用图解法求下列线性规划的最优解： 14.
10、把下列线性规划化为标准形式： 15.判定下列集合是否凸集：（1）R1=(x1,x2)|x12+2x222（2）R2=(x1,x2)|x122x2+30,x20,|x1|1（3）R3=(x1,x2)|x1x21,x11,x2016.求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。17.求下列线性规划的解：（1） （2） （3） （4） 18.利用大M法或两阶段法求解下列线性规划：（1） （2） （3） （4） 19.对于问题（1）设最优解为X*，当C改为时，最优解为，则。（2）如果X1，X2均为最优解，则对于0，1，X1+（1）X2均为最优解。20.用单纯形法求解问题12（4）（合理下料问题）。21.表1-12是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x4，x5，x6是松弛变量。表1-12cj22CBXBbx1x2x3x4x5x62x5x2x12141-12a21-1-1-2-a+8j
