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1、2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题 （2013年高考新课标1（理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若,则B若,则 C若,则D若,则【答案】D （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（）ABCD【答案】C （2013年普通高等学校招
2、生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】A （2013年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD【答案】A （2013年高考湖北卷（理）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（）ABCD 【答案】C （2013年高考湖南卷（理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A BCD 【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试广东省
3、数学（理）卷（纯WORD版）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 正视图俯视图侧视图第5题图（）ABCD【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则（）A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于【答案】D （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为（）ABCD【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题图所示,则该几何体
4、的体积为（）ABCD【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为（）ABCD 【答案】C （2013年高考江西卷（理）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么（）A8B9C10D11【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等学校
5、招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）在下列命题中,不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,恒有,则（）A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 【答案】A （2013年高考四
6、川卷（理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题（2013年高考上海卷（理）在平面上,将两个半圆弧和、两条直线 和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_【答案】. （2013年高考陕西卷（理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.【答
7、案】 （2013年高考北京卷（理）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.【答案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_.43233正视图侧视图俯视图（第12题图）【答案】24 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版
8、）如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,S为四边形;当时,S为等腰梯形;当时,S与的交点R满足;当时,S为六边形;当时,S的面积为.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_【答
9、案】 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为_D1C1B1A1DCAB【答案】 三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为22.5.和是底面圆上的两条平行的弦
10、,轴与平面所成的角为60.()证明:平面与平面的交线平行于底面; ()求.【答案】解: () . 所以,. () . . . 法二: （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明()方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如图8所示,由已知得到面面,过
11、作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.B1A1C1ACB【答案】解因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中, 从而, 因此该三棱柱的体积为. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:(1)平面平面; (2).【答案】证明:(1),F分别是SB的中点 E.F分别是SA.SB的中点
12、 EFAB 又EF平面ABC, AB平面ABC EF平面ABC 同理:FG平面ABC 又EFFG=F, EF.FG平面ABC平面平面 (2)平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AFSB AF平面SBC 又BC平面SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面SAB BC平面SAB又SA平面SABBCSA （2013年高考上海卷（理）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1A
13、C上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,故 所以,即直线BC1到平面D1AC的距离为. （2013年高考湖北卷（理）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点.(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.第19题图【答案】解:(I), 又 (II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,
