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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0509 SXG3 006学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇高三文科数学预习篇四 -函数的单调性与极值学习重点：（1）利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间.（2）利用导数求函数的极值.【学法指导】1准确理解导数与函数的单调性的关系一般地，设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导.（1）如果在这个区间内0，则f(x)在(a,b)内为增函数.（2）如果在这个区间内0，则f(x)在(a,b)内为减函数.（3）如果在这个区间内恒有=0，则f(x)在(a,b)内为常函数.2正确理解函数的极值
2、的概念（1）概念：设函数y=f(x)在点及其附近有意义，如果对附近的所有点，都有，则称是函数y=f(x)的一个极大值，记作：.如果对附近的所有点，都有，则称是函数y=f(x)的一个极小值，记作：.极大值与极小值统称为极值. （2）注意：点及其附近有定义：指在点及其一邻域都有定义.显然，端点及其间断点不可能成为其极值点.函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某点附近函数值的情况，即某点的函数值比附近的每一点的函数值都大，则为极大值；比附近的每一点的函数值都小，则为极小值.极大值未必比极小值大；而极小值未必比极大值小.可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零. 其充分条件是这点两侧的
3、导数异号.可导函数的导数为0的点不一定是极值点，如，在=0处，虽然有，但=0不是极值点.极值点也可在其不可导点处达到，如y=|x|，在=0处不可导，即不存在，但f(0)为其极小值点.因此，对不可导函数的极值问题的求解还应对不可导点进行分析.【巧学妙思】1判断函数单调性的方法在中学数学中，对函数及其性质的学习、研究与应用是非常重要的.利用导数来研究函数的性质、应用无疑给在用初等方法解决函数问题的基础上增添了一条独特的、靓丽的风景线，使得对一些比较复杂函数的研究更为简捷、明了.对于基本初等函数的单调性，我们都比较熟悉，易找到它的单调区间.但对于较复杂的函数的单调性，我们常需要利用复合函数的单调性来
4、进行分析判定.而借用导数来解决函数的单调性问题会更简捷.利用导数求函数单调性的步骤：（1）求导数.（2）解不等式0得f(x)的单增区间. 解不等式0得f(x)的单减区间.2利用导数求函数的极值.利用导数求函数极值的步骤：（1）求导数；（2）令，求得根；（3）在附近左、右侧判断的符号（左正右负为极大值，左负右正为极小值，这里可通过列表来判断）.说明：使导数=0的点不一定为极值点，如在点x=0处无极值.返 回【应用举例】例1 求函数的单调区间.分析：这是一个二次函数的单调性的问题，二次函数的图像和性质我们很清楚，很快就可以得到其单调区间与单调性. 但是如果我们利用导数来求其单调区间，就更加快捷.解
5、：=12x9，令，函数的单调增区间为，令，函数的单调增区间为.例2 已知，则fg(x)（ ）A在(2，0)上递增 B在(0，2)上递增C在(，0)上递增 D在(0，)上递增分析：此题可利用复合函数的单调性来进行判断，但较为复杂，我们可利用导数来进行.解：则. 令，则可得，所以应选C.例3 求函数的单调区间.解：，令，得1x0或x1.函数的单调减区间为和(0,1).解后反馈：在这里要注意：使的x的取值区间如为一个，则此区间为其单调区间，如为两个或两个以上，在各自的区间上均为单调函数. 在这里，不能将这两个区间并起来写，如写成：此函数的单调增区间为(1,0)(1,+)就错了，它是一个取值范围，而在
6、其上不具有单调性.例4 求函数函数的极值.分析：根据求函数极值的步骤来进行.解：.令得x=2或x=2，列表如下：x2(2,2)2+00+y极大值极小值.例5 求函数的极值点和极值.分析：极值点是指函数取得极值时对应的点的横坐标，即自变量的取值. 而极值是函数值，即取得极值的对应点的纵坐标，二者并不相同.解：.令=0，则.列表：x1(1,3)3+00+y极大值极小值6函数的极大值点为x=1，极大值为f(1)=；极小值点为x=3，极小值为f(3)=6.例6 设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=1处有极值，且f(1)=1，求a、b、c并求其极值.分析：此题属于逆向思维，仍可根据求函数极
7、值的步骤来求解，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为方程=0的根. 利用这一关系，由待定系数法求a，b，c.解：.x=1，x=1为函数的极值点，则1,1为方程=0即=0的两根，又f(1)=1，a+b+c=1. (3)解得.此时.列表：x1(1,1)1+00+y极大值1极小值1，.例7 已知函数，仅当x=1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，求常数a，b；求f(x)的极值.解：.仅当x=1，x=1时取得极值，方程=0，即只有两个实数根x=1.则，即5+3a+b=0，b=3a5.此时， 且方程无实根，恒成立，此时，x1(1,+1)1+00+f(x)极大值极小值极大值为f(1)，极小值为f
8、(1).又由题意f(1)f(1)=4，(1ab+1)(1+a+b+1)=4.又b=3a5，a=1，b=2.由得极大值为f(1)=3，极小值为f(1)=1.返 回【强化训练】一、选择题1函数的增区间是（ ）A(,1) B(1,+)C(1,1) D(,1),(1,+)2函数（ ）A有极大值，且有极小值 B有极大值，无极小值C无极大值，但有极小值 D无极大值，且无极小值3某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数是（ ）A BC D4函数的单调减区间是（ ）A BC(0,2) D5函数在(0,1)内有极小值，则（ ）A0b1 Bb1Cb0 D二、解答题6求函数的极值.7已知函数，当x=1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求a，b，c及函数的极小值.点击答案一、1C 2C 3B 4B 5A二、6令，可知当时，函数是增函数；当时函数是减函数；当是增函数.在x=2处有极大值，在x=2处有极小值.7a=3，b=9，c=2，极小值为25.返 回
