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1、本科毕业论文论文题目：计算矩阵特征值的几种数值方法及程序实现学生姓名： 吕俊玲 学号： 201100820227 专业： 信息与计算科学专业 指导教师： 尹哲 学 院： 数学科学学院 1 2015年 5 月 20 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目计算矩阵特征值的几种数值方法及其程序实现选题时间2014.12.14完成时间2015.05.20论文（设计）字数7000+关 键 词矩阵 特征值 幂法 反幂法 Jacobi法 二分法论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：矩阵特征值在矩阵计算中占有重要的地位，而现实的生产生活中的众多领域，矩阵特征值问题都有非常广泛的涉及。矩阵特征值的计算手
2、段与时代一起进步，许多非常简便的数值方法应运而生，但大型矩阵特征值的计算方法本质上都是运用迭代法。求解一个简单矩阵的特征值问题实际上就是求解一个多项式的根的问题，而求解一个大型矩阵的特征值往往要进行近似的估算。为了使计算更为方便简单，矩阵会被变换为对角矩阵进行计算，计算方法也需要调整收敛速度改进成为更有效的方法。矩阵特征值问题在众多领域有着非常广泛的涉及，在工程计算、量子力学、生物学、经济学等学科有着重要的应用，因此它被众多数学学者、工程技术人员、科技学者所青睐。矩阵计算是计算数学的一个重要分支，而矩阵特征值计算作为矩阵计算的重要方向，是国内外的研究热点，因此研究矩阵特征值问题意义重大。论文（
3、设计）的主要内容及创新点：本文主要将矩阵特征值分为对称特征和非对称特征值问题进行方法讨论。对于非对称特征值问题，本文主要介绍幂法与反幂法，对称特征值问题的计算方法主要以Jacobi方法与二分法为主要计算方法，然后讨论几种方法的收敛性及改进方法，最后列举实例，编写程序实现算法。附：论文（设计）本人签名： 2015 年 5 月 20 日目 录中文摘要 2英文摘要 2一、引言 3二、简单矩阵特征值的计算方法 4（一）矩阵特征值的相关概念 4（二） 简单矩阵的特征值方法-定义法 8三、非对称特征值问题的计算方法 9（一）幂法 9（二）反幂法 11四、对称特征值问题的计算方法 13（一）经典Jacobi
4、方法 13（二）二分法 19五、总结 22参考文献 23 附录计算矩阵特征值的几种数学方法及其程序实现吕俊玲摘要：本文把矩阵分为对称矩阵和非对称矩阵两种形式，并分别讨论两种矩阵的特征值的计算方法和其收敛性。对称矩阵的特征值计算方法主要以二分法方法，经典Jacobi方法为主要内容，非对称矩阵的特征值计算方法则主要使用幂法，反幂法。幂法与反幂法用于计算矩阵的部分特征值，幂法可以求矩阵的一个模最大的特征值，反幂法则是应用幂法于矩阵的逆上求矩阵的模最小特征值。Jacobi方法和二分法是针对实对称矩阵求解特征值的数值方法。Jacobi方法是由Jacobi于1846年首先提出，是求解全部特征值的经典方法，
5、二分法是求一个三对角矩阵任意指定特征值的数值方法，它既可以求某些指定的较大或较小的特征值，也可以求某个区间内的特征值。为使几种数值方法更为有效，本文最后将讨论几种方法的收敛性并改进算法。关键词：矩阵；特征值；幂法；反幂法；Jacobi方法；二分法 Numerical computation methods of computing the matrix eigenvalues and the programming Lu jun-lingAbstract: These matrices are divided into two major categories of symmetrical m
6、atrices and unsymmetrical matrices, and take the calculation methods of matrix eigenvalues and astringency of these methods into consideration. The methods to calculate eigenvalues of symmetrical matrix mainly includes Jacobi method and bisection. The computation methods of eigenvalues about unsymme
7、trical matrix adapt to power and inverse power method as major methods. Power method and inverse power method is used to calculate part of the eigenvalues of the unsymmetrical matrices. The power method is used for seeking the eigenvalue with maximal module about the matrix. Inverse power method is
8、used for finding the eigenvalue with minimal module in the way that power method acts on the contradiction of circle matrix. Jacobi and bisection are aimed at calculating the eigenvalues of real symmetrical matrices. In 1846, Jacobi raise the Jacobi method at first which is classic calculation to so
9、lve eigenvalue problem. Bisection is a kind of numerical method that is used for finding a any given eigenvalue of a three-diagonal matrix, it can seek some specified eigenvalues which is larger or smaller and it also can find eigenvalues between a certain range. To increase the effectiveness of the
10、se numerical methods, the paper will tell some improvement methods and discuss the convergence of these methods at end. Keywords: matrix; eigenvalue; power method; inverse power method; Jacobi method; bisection; 一、 引言 矩阵是高等数学的重要组成部分，在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。除线
11、性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不一样的，表面上完全没有联系的问题，如物理学、力学、应用数学及科学技术领域，在数学上归结成矩阵问题以后却是相同的。例如，动力学系统和结构系统中的振动问题，物理学中某些临界值的确定等，这些实际问题都归结为求解下述数学问题。（1） 已知矩阵要求代数方程 （1.1） 的根，称为的特征多项式，上式按行列式展开即有 有个根（实根或复根），称为的特征值。（2） 设为的特征值，要求相应的齐次方程组：（或） （1.2）的非零解，（1.2）的非零解成为矩阵的对应于的特征向量。这就使矩
12、阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念。矩阵计算是大多数科学与工程计算的核心。矩阵特征值算法研究作为矩阵计算的重要方向，矩阵特征值在工程上具有广泛的应用，许多复杂的实际问题，如飞机、空间站、海洋钻探石油平台等大型复杂结构的动力分析和稳定性分析都可转化为大型稀疏矩阵的特征值问题。这些应用一直推动着这个领域的发展。正是由于矩阵特征值问题在许多学科内的应用，矩阵特征值问题数值求解的理论求解、算法研究和软件开发等是当今计算数学和科学工程计算研究领域中的重大课题，是大规模科学与工程计算的最基本的组成部分和重要的分支之一，国际上研究极为活跃。 二、 简单矩阵特征值的计算方法 （一）矩阵特征值的相关概念1
13、、 矩阵对角化设，存在非零向量使得；一个复数称作是矩阵的一个特征值，称作是的属于的一个特征向量。由此可知，是的一个特征值的充分必要条件是。称多项式为的特征多项式。由行列式的性质可知是一个首项为的次多项式，由代数基本定理知有个根，即有个根，即有个特征值。记得特征值的全体为，通常称为的谱集。谱分解定理若是对称的，则存在正交矩阵使得矩阵对角化的条件：设，（1） 若矩阵的特征方程没有重根，则一定可以对角化。（2） 若矩阵的特征方程有重根，则是否能对角化要看特征值对应的特征向量总个数，如果线性无关的特征向量个数等于，则可以进行对角化，否则不能。、 相似变换设，若存在非奇异阵使得，则称与是相似的，上述变换称作相似变换。两个矩阵相似的性质：（）若与相似，则与有相同的特征值，并且是的一个特征向量的充分必要条件是是的一个特征向量。（）若A与B相似，则与相似，与有相同的特征值。、Jacobi标准型如果能找到一个适当的变换矩阵X，使B得特征值和特征向量容易求得，就可得到A的特征值和特征向量。很多计算非对称特征值的数值方法基于这种理论思想利用相似变换将矩阵约化成最简单形式，即Jordan标准型Jacobi分解定理 设有个互不相同的特征值，其重数分别为，则必存在一个非奇异矩阵使得
