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1、把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2021年中考数学专题复习第八讲 一元二次方程及应用【根底知识回忆】一、一元二次方程的定义： 1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项。名师提醒：在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a0这一条件将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正二、一元二次方程的常用解法： 1、直接开平方法：如果，那么= ， = ， = 。 2、配方法：解法步骤：化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数；移项：把 项移到方程的 边； 配方：
2、方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式； 解方程：假设方程右边是非负数，那么可用直接开平方法解方程。 3、公式法：如果方程满足，那么方程的求根公式为 4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，那么可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法三、一元二次方程根的判别式 关于的一元二次方程根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示方程有两个实数跟，那么 当 时，方程有两个不等的实数根当 时，方程看两个相等的实数根当 时，方程没有实数根名师提醒：在使
3、用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 四、一元二次方程根与系数的关系：关于x的一元二次方程有两个根分别为那么= ， = 。五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型： 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数 利润问题：总利润= 或总利润= 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1 2021兰州假设一元二次方程有一根为，那
4、么 思路分析：由方程有一根为-1，将x=-1代入方程，整理后即可得到a+b的值解：把代入一元二次方程得：，即a+b=2021故答案是：2021点评：此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程跟踪训练12021柳州假设x=1是一元二次方程的一个根，那么m的值为 考点二：一元二次方程的解法例2 2021大连解方程：思路分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数解：移项得，配方得，即，开方得，点评：此题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：1
5、形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可2形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方例3 2021宿迁解方程：思路分析：先移项，然后利用“十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程；解：由原方程，得，整理，得，那么x+3=0或x-1=0，解得。点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解跟踪训
6、练22021兰州一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为A B Cx-42=17 Dx-42=1532021东莞解方程：考点三：根的判别式的运用例4 2021十堰关于x的一元二次方程1假设方程有实数根，求实数m的取值范围；2假设方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值思路分析：1根据根的判别式的意义得到0，即，解不等式即可；2根据根与系数的关系得到，再变形条件得到，代入即可得到结果解：1关于x的一元二次方程有实数根，0，即，；2根据题意得，即，解得舍去，m=2点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式：10方程有两个不相等的实数根；2=0方程有两个相等的实数根；30方程没有实数根也考查了一元
7、二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，跟踪训练42021梅州关于x的方程1假设该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；2当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根考点四：一元二次方程根与系数的关系例5 2021黄冈假设方程的两根分别为，那么的值为 思路分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，然后利用整体代入的方法计算解：根据题意得，所以故答案为3点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两根时，跟踪训练52021荆门关于x的一元二次方程x2+m+3x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，假设x12+x22=
8、4，那么m的值为 考点五：一元二次方程的应用例6 2021益阳沅江市近年来大力开展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为A201+2x=80B2201+x=80C201+x2=80D201+x2=80思路分析：根据第一年的销售额1+平均年增长率2=第三年的销售额，列出方程即可解：设增长率为x，根据题意得201+x2=80，应选D点评：此题考查一元二次方程的应用-求平均变化率的方法假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a1x2=b当增长时中间的“号选“+，当下降时中间的“
9、号选“-对应训练62021酒泉今年来某县加大了对教育经费的投入，2021年投入2500万元，2021年投入3500万元假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，那么以下方程正确的选项是A2500x2=3500B25001+x2=3500C25001+x%2=3500D25001+x+25001+x2=3500考点六：一元二次方程的应用例7 2021乌鲁木齐某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？思路分析：设降价x元，表示出售价
10、和销售量，列出方程求解即可解：解：降价x元，那么售价为60-x元，销售量为300+20x件，根据题意得，60-x-40300+20x=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，答：应将销售单价定位56元点评：此题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解跟踪训练72021广州某地区2021年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元1求2021年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率；2根据1所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经
11、费多少万元【备考真题过关】一、选择题12021滨州用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，以下变形正确的为Ax+32=1 Bx-32=1 Cx+32=19 Dx-32=1922021重庆一元二次方程的根是Ax1=0，x2=-2 Bx1=1，x2=2 Cx1=1，x2=-2 Dx1=0，x2=232021烟台如果，那么x的值为A2或-1B0或1C2D-142021济宁三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，那么该三角形的周长为A13 B15 C18 D13或1852021衡阳假设关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，那么另一个根为A-2B2C4D-362021广西实数x1
12、，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，那么以x1，x2为根的一元二次方程是Ax2-7x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x-12=0 Dx2-7x-12=072021锦州一元二次方程的根的情况为A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根82021温州假设关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，那么c的值是A-1B1C-4D492021德州假设一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，那么a的取值范围是Aa1Ba4Ca1Da1102021东莞假设关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是Aa2Ba2Ca2Da2112021黔东南州设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，那么x12+x22=A6B8C10D12122021衡阳绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为Axx-10=900 Bxx+10=900C10x+10=900 D2x+x+10=900132021安徽我省2021年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务开展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛开展，2021年增速位居全
