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1、专题04立体几何题型简介立体儿何解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突 破的核心内容之一.高考数学立体几何解答题，主要采用“论证与计算”相结合的方式，在命题上一般包含 23小问，会涉及到空间点、线、面位置关系的判定与探究，特别是平行与垂直关系的证 明；空间角（包括异面直线夹角、直线与平面所成角和二面角）或空间距离（包括空间几何体的 体积、表面积和点到平面的距离等）的计算.立体几何在解题能力方面的要求是：在数学思想 上，一般涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想：在解题方法上，一般涉及 几何法、向量法，往往是两种方式相结合进行处理.典例在线一、线线角、线面
2、角、二面角、距离问题例1.如图，在直三棱柱ABC-AC.中、已分别是棱M、CG上的点，人。=（7占=?4吊，AG = BC.（1）求证：平面DEBA.平面A.ABB.若直线4。与平面ABC所成的角为45。，且求二面角。的正 弦值.(1) 求证：B, E, n，F四点共面：(2) 是否存在点G,使得平面GEFA.平而BEF ?若存在，求出DG的长度；若不存在，说 明理由.开放性问题相对于存在性问题而言，有其结论的多样性，即结论的不确定性.如果结论 是肯定的，需要通过推理论证或者转化为向量运算进行说明；如果是否定的，则需要得出矛 盾，利用反证法或者通过数量关系的矛盾性解决.4.如图，梯形ABCD,
3、旭以所在的平面互相垂直，AI3CD, ABEF t CD = EF = 1,AI3=AI)=AF=2, ZBAD = ZBAF = - t 点 M 为棱 BE 的中点.(1) 求证：平面ABCD；(2) 求二面角C-DF-B的余弦值；(3) 判断直线AM与平面DCEF是否相交，如果相交，求出A到交点的距离；如果不相 交，求直线AM到平面DCEF的距离.刷模拟4. 2022-湖南娄底高三期末】如图，在长方体ABCDfBCn中，AB = 5,BC = CC,=4.若平面 APSB 与棱CG 分别交于点 P, 5, KDP = CS = a(0a3)2ti为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Qi
4、PQ2,平面Q2PQ3 平面Qk iPQk和平面QRPQ/遍历多面体M的所有以P为公共点的面.图2（1）如图 1,己知长方体 AjBiCiD, - ABCD, AB=BC= 1, AR =丰，点 P 为底面 AiBiCD 内的一个动点，则求四棱锥P - ABCD在点P处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部 取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域。和区域4 中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域史还是“区域）本类试题一般分两种设问方式，一种是直接求解空间角或空间距离；另外一种是已知空 间角
5、或者空间距离，求解相关几何量的大小.解决这类问题一般需要先根据题意建立合适的 空间直角坐标系，然后通过数学抽象将儿何问题转化为代数问题，找到关键帛.的坐标表示（需 引入参数，但要求尽可能少的参数，一般可以用共线向量处理），再用待定系数的方法进行 直接运算，求解函数或方程，得出参数的具体值，最后还原到几何体中求解相应的几何量.1.三棱锥 PABC 中，AC_LBC，平面 PACL平面 ABC, PA = PC=AC=2, BC = 4, E、F 分别为PC和所的中点，平面AI3CC平面AEF = l.（1）证明：直线/BC；（2）设直线伽与直线EF所成的角为。，直线PM与平面人欣所成的角为“，则
6、在直 线/上是否存在一点材，使得 5 = %,若存在，求出I 的值；若不存在，说明理由.刷模拟1.2022-全国高三专题练习】如图所示，在四棱锥P-ABCD,侧面PAD1底面ABCD, 侧棱 PA = PD =皿,底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC/AD, ABLAD, AD = 2AB = 2BC = 2, 0为AD中点.（1）求证：PO_L 平面 ABCD；（2）求异面直线所与CD所成角的大小；（3）线段人。上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为吏？若存在，求出梁的2QD值；若不存在，请说明理由.刷真题1. L2021-全国高考真题】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABDA.平面B
7、C。，AB=AD，。为的中点.EEB(1)证明：OAA.CD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱人。上，DE = 2EA,且二面角E-BC-D 的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.二、翻折问题例2.如图，四边形彼中，如AP = 2CD = 4, AE=EC,沿对角线犯岖AC。翻折成AC/7,使得 BEDCD.D(1) 证明：BD = 8C ；(2) 若AZ0为等边三角形，求二面角D-AB-C的余弦值.解题技巧翻折问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.这两种方式的转变 正是空间儿何与平面儿何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由 直观到抽象
8、的过程.解决翻折问题，关键是对翻折前后不变量及不变性的把握，即将翻折前 后的图形进行比较，弄清楚哪些角和长度变了，哪些没变(可以观察各面的位置关系变化， 同一面上的边角基本不会变)：哪些点、线共面，哪些不共面；翻折后的线与原来的线有什 么关系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直线.变式训练2.如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=, AB = y/i，将平面人BZ)沿翻折得到四 面体A - BCD,点E为棱AB的中点，过点。作DFIAC于点F,当四面体A* - BCD的体 积最大时.(1) 证明：EFLAC；(2) 求点到平面。的距离.刷模拟2. 2022-重庆一模】如图，在平面四边形ABC
9、D中，BC = CD,BC A.CD,AD BD t将ABD沿B。翻折，使点A到达点P的位置，且平面PBD1平面ABCD.(1) 证明：BCA.PC；(2) 若M为所的中点，二面角P-BC-D的平面角等于45 ,求直线PC与平面所成 角的正弦值.刷真题2. 【2018全国高考真题(理)】如图，四边形ABCD为正方形，分别为AD.BC的中 点，以DF为折痕把折起，使点C到达点户的位置，且所_L8F.(1) 证明：平面PEF1平面ABFDx(2) 求DP与平面ABFD所成角的正弦值.三、存在性问题例3.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知朋J_底面ABCD,8CLAB,AD BC,A8 = AO =
10、 2,CD_LPZ),异面直线必与CD所成角等于60 .(1) 求证：平面PCDA.平面P8。；(2) 在棱24上是否存在一点使得平面243与平面8Z)已所成锐二面角的切值为有？若 存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由.解决存在性问题主要有以下方法：(1) 几何法，即分析法与综合法并用，一般先假设存在，借助相应的性质定理进行分析 推理，得出结论.若存在，再用判定定理证明，即先猜后证；若不存在，则用反证法证明.(2) 向量法，即建立适当的空间直角坐标系，利用假设存在符合题意的条件，结合题意， 根据空间向量的坐标运算列出方程.若方程有解，则存在；若方程无解或者所求不符合题意， 则不存在.3. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 ABCD, PA = AD = CD = 2, BC = 3, PC = 20E为PB的中点，从CDKBC；BC平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完 成解答.注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.(1) 求证：四边形ABCD是直角梯形.(2) 求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.PF(3) 在棱上是否存在一点F,使得AF/平面PCD?若存在，求溯的值；若不存在， 请说明理由.刷模拟3.【2022湖
