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1、统计专业和数学专业数学分析练习题1. 证明极限不存在。2. 用极限定义证明： 3. 证明极限不存在.4. 设在 连续，证明：对在连续.5. 证明：如果在 连续，且，则对任意,对一切有6. 证明：在点处连续且偏导数不存在.7. 证明； 在点连续，且不存在.8. 证明在 点处连续且偏导数存在.9. 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若属于该邻域，则存在和 ， 使得 。10. 证明： ,在点不可微.11. 证明: 对任意常数, 球面与锥面是正交的.12. 证明: 以为参数的曲线族是相互正交的(当相交时).13. 证明: 由方程所确定的隐函数满足,其中二阶可导.14. 设, 证明15. 证明含参量反常积
2、分在上一致收敛，但在内不一致收敛。16. 证明含参量的反常积分为常数是一致收敛的.17. 证明含参量的反常积分是一致收敛的.18. 若在内可积, 证明.19.证明在整个XY平面上是某个函数的全微分, 并找出这样一个原函数. 20.设一力场为 F i +j . 证明质点在此力场内移动时, 场力所作的功与路径无关. 21.证明, 其中L是球面 与平面 的交线 ( 它是圆周 ) , 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.22.证明, 其中L是圆柱面与平面 的交线(它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向.23.证明=,其中L是圆柱面与平面( )的交线( 它是椭圆 ) , 从X轴的
3、正向看去 , 此椭圆周呈逆时针方向.24.证明：若为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则. 25.证明二重积分=，其中.26.设是上的正值连续,则.27.设在所围区域上连续,则.28.证明,其中由，所围成的有界闭区域.29.证明,其中是左半球面,。30.证明=, 其中是区域 的边界.31.证明, 是锥面被柱面所截部分.32.证明, 其中是中心在原点 , 边长为的立方体 的边界.33.证明=, 其中是椭球面的上半部分 , 积分沿外侧.1. 证明极限不存在.证明 因为 二者不等，所以极限不存在. 2. 用极限定义证明： 。证明 对， 要使 . 取，即可. 3. 证明极限不存在。 证明
4、 因为 . 二者不等，所以极限不存在。 4. 设在 连续，证明：对在连续.证明 因为在 连续， 所以当 时，有 . 故 对 ,当时，, 从而 所以 在连续. 5. 证明：如果在 连续，且，则对任意,对一切有证明 设则对取， 因为 在点连续，所以当 时，有 ,所以 ,有 .6. 证明： 在点处连续且偏导数不存在。证明 由于在 点连续 , 而 不存在. 且 不存在故两个偏导数不存在. 7. 证明； 在点连续，且不存在.证明 因为所以在 连续，且 不存在. 8. 证明：在 点处连续且偏导数存在。证明 因为所以，函数在 连续，且 , . 即两个偏导数均存在. 9. 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若属
5、于该邻域，则存在和 ， 使得 .证明 由于函数在的某邻域内存在偏导数，有 . 用一元函数的中值定理，存在和 ，使得.10. 证明： 在 点不可微.证明 因为 .有 ，和 而 不存在（令 沿此直线趋近于时，极限随的变化而变化） 所以函数在点不可微. 11. 证明: 设是球面和锥面交线上的任一点,则球面和锥面在该点的法向量为和, 因为,所以对任意常数, 球面与锥面正交.12. 证明: 设曲线族中任意两条曲线()相交于点, 则在交点处两条曲线的法向量为, .由于因此这两条曲线在交点处互相正交.13. 证明: 由隐函数定义, 有.上式两边对求偏导数, 得继续对求二阶偏导数, 又得,即把代入, 经整理得
6、.再计算于是得证.14. 证明: 当时, , 于是可以利用积分号下求导法则,于是, . 因为, 所以.当时, 作变换,而, 利用上面的结论,有15. 证明: 1）(只需证明，使得当时，对一切有即可.)对任意作变量代换，可得 （5）由于收敛，故对任给正数，总存在正数，使当，就有 因为所以,取,则当时, 由上式,对一切有又由（5）可得所以原积分在上一致收敛。2）现在证明原积分在内不一致收敛。（由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数，使对任何实数，总相应地存在某个及某个，使得）由于非正常积分收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值），所以，即，当时有对任意总存在某个，(不妨取)，使得所以有：即 （6
7、）现令，由(5)及不等式(6)的左端就有即： 所以原积分在内不一致收敛16. 证明: 在积分中, 反常积分收敛, 于是关于一致收敛. 又因为关于单调, 且一致有界,即, 因而由阿贝尔判别法, 原积分一致收敛.17. 证明: 在积分中作变换, 有.因为反常积分收敛, 关于单调, 且一致有界,即,因而由阿贝尔判别法, 原积分关于一致收敛.18. 证明: 由假设, 反常积分收敛,于是关于一致收敛, 又因为当时关于单调, 且一致有界,即, 因而由阿贝尔判别法, 含参量反常积分当时一致收敛.由连续性定理可得.19.证明 , ., . 可见在R上 ,因此 , 在整个XY平面上是某个函数的全微分, 设该函数
8、中的一个为 , 有 .20.证明 设曲线L从点A到点B的切向量为, 则质点沿曲线L从点A到点B所作的功 W., ., . 可见在R上 ,因此积分与路径无关.即场力所作的功与路径无关.21.证明 , , . 有, , . 于是, 倘设S为平面被球面所截部分的上侧, 注意其上侧法向量, 并注意S是球的大圆, 据Stokes公式, 就有 .22.证明, , . 有, , . 设S为平面被柱面所截部分的上侧, 注意其上侧法向量,据Stokes公式, 就有 .23.证明 , . 有, , .设S为平面被柱面所截部分的上侧, 注意其上侧法向量 ,据Stokes公式, 就有 .924.证明: 由条件，存在点,使，而为连续函数，因此存在，使得，有，因此,积分 .25.证明: 令,则,又于是，所以=26.证明: 因为.故.27.证明: 因为,.故.28.证明: .29.证明 左半球面的方程为, , , 于是 .30.证明 在上 , ; 在上 , . 因此, .31.证明 在上 , , . 因此 , .32.证明 前侧面和后侧面与XOY及ZOX坐标平面垂直包 , 分别在其前侧和后侧上的积分为 ,(,注意奇偶性).同理可得在左、右、上、下侧面上的积分为. 因此,.33.证明 分别用和表示的右上半部分的右侧和左上半部分的左侧 . 就有 .11
