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1、 毕 业 论 文 题 目：浅谈圆锥曲线的性质及应用学 院： 数学与信息科学学院专 业：信息与计算科学班 级：2011级1班姓 名：张朝若学 号：20110502033指导教师：唐加冕2015年5月18日浅谈圆锥曲线的性质及应用【摘要】圆锥曲线作为平面解析几何的重点.首先要进行研究的是它的分类，并对椭圆，双曲线 ，抛物线的性质以及应用进行总结与归纳，根据已经学过的平面解析几何的知识，运用数形结合的思想，对它们的性质包括基本性质与推广性质进行一系列的总结与证明，根据性质对它在解题过程中的应用以及实际生活中有关圆锥曲线应用的探究与说明.【关键词】圆锥曲线；性质；推广；应用Introduction t
2、o the properties and application of the conic sections【Abstract】The conic sections is as the focus of flat analytic geometry .This article first introduce the conic sections in the classification analytic geometry. It summarizes the three types included ellipse,hyperbolic,parabola of a degenerate co
3、nic sections of the nature and application. Flat analytic geometry knowledge and combining ideas are made use of.The conic sections of the basic nature and promotional nature of the review and verification are summarized and proved. And put it in our daily lives and in the solution of the applicatio
4、n of the application of a brief explanation.【Key Words】The conic sections；Nature；Promote；Application目 录1引言12 圆锥曲线的分类与性质12.1 圆锥曲线的分类12.2 圆锥曲线的性质32.2.1 椭圆的性质32.2.2 双曲线的性质42.2.3 抛物线的性质53 圆锥曲线的应用63.1 直线与圆锥曲线位置关系63.2 根据圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的最值问题103.3 数学问题在圆锥曲线中的推广134 圆锥曲线在生活中的应用165 结论17参考文献:17致谢1813石家庄学院毕业论文 1引言
5、圆锥曲线作为高中数学中的重点与难点同样在解析几何当中占据了不可替代的地位，然而作为几何问题，我们却用代数的方法去研究它，它完美地将代数方法融入几何学中，圆锥曲线的性质以及应用成为研究者青睐的研究课题之一.圆锥曲线可分为圆，椭圆，双曲线，抛物线，它们都是由平面截圆锥形成的，因此它们之间有很多共同的性质，研究它们之间的共同点跟不同点，有利于加强知识间的横向联系，拓宽学习思路，加深对于圆锥曲线定义的理解，圆锥曲线由于计算比较繁琐，会引起有些学生的不耐烦，因此对其性质以及应用进行较深入的研究和探索有着比较重要的意义，通过研究该课题提高学生解决相关问题的综合能力.圆锥曲线上至空间宇宙，下到实际生活中的应
6、用，无时无刻不与我们有着千丝万缕的关系，我们赖以生存的地球就是在椭圆轨迹上围绕着太阳运转，人造卫星同样也是按照这样的原理运转，电作为现代文明的产物，也与我们的圆锥曲线割舍不开，发电厂的冷却塔就是利用双曲线的性质工作的，我国赵县的赵州桥历经千年而不倒，利用的就是抛物线的原理，因此，圆锥曲线涉及到生活的各个方面.同样圆锥曲线在微观世界也有着割舍不断的联系，原子我们都再熟悉不过，围绕其周围环绕的电子，做的运动轨迹便近似与椭圆的形状，因此可见无论我们熟悉的宏观世界还是肉眼不可见的微观世界，都与圆锥曲线有着千丝万缕的关系.于是对其性质及应用的探究显得尤为重要.本文通过学习圆锥曲线的分类以及基本性质，进而
7、探究它的衍生的性质以及在解题和生活中的应用.2 圆锥曲线的分类与性质2.1 圆锥曲线的分类在平面直角坐标系中，设二次曲线的方程为记，则我们称为二次曲线的不变量，是二次曲线的半不变量.根据不变量得到二次曲线的分类： 1 椭圆型： 椭圆 虚椭圆（无轨迹） ， 一点 ， 2 双曲型： 双曲线 ， 一对相交直线 ， 3 抛物型： 抛物线 ， 一对平行直线 ， 一对虚平行直线（无轨迹） ， 一对重合直线 ，当二次曲线为退化时，二次方程的图像表现为直线或一点.根据二次曲线的分类可以得知，曲线的类型取决于的符号，二次曲线是否退化则取决于是否为.所以，圆锥曲线可以分为椭圆，双曲线，抛物线三类.2.2 圆锥曲线
8、的性质2.2.1 椭圆的性质定义2.2.1 平面内到两个定点、的距离的和等于常数()的动点的轨迹叫做椭圆. 即： .1 定义图形方程焦点范围对称性关于轴、轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标 离心率表2.1椭圆的性质 定理2.2.1与长轴垂直的过焦点的弦被称为椭圆的通径，设为,.定理2.2.2椭圆上的一点处的切线方程是.定理2.2.3设为弦的两个端点，则 . . 2.2.2 双曲线的性质定义2.2.2平面上到两个不重合定点的距离的差的绝对值等于定长的点轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线焦点，焦点间距离叫做焦距.1定理2.2.4在圆锥曲线中唯一存在渐近线的只有双曲线，渐近线和双曲线无限
9、接近但永不相交，当焦点在轴上时，渐近线方程是和;当焦点在轴上时，渐近线方程是和.定理2.2.5实轴和虚轴相等的等轴双曲线的离心率等于，并且它的两条渐近线互相垂直.定理2.2.6设点为双曲线上任意一点，则其焦半径为的长各为，.定义图形方程范围 对称性关于轴，轴，原点对称焦点离心率渐近线表2.2双曲线的性质2.2.3 抛物线的性质定义2.2.3平面上到一个定点与到一条定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点.定直线叫做抛物线的准线.1定理2.2.7抛物线上任意一点的焦半径的长.定理2.2.8抛物线的倾斜角为的焦点弦的长为.定理2.2.9 是抛物线的任意一个焦点弦
10、，为焦点，则.标准方程图形顶点焦点对称轴轴轴准线离心率焦准距通径长的焦点半径表2.3抛物线的性质 3 圆锥曲线的应用3.1 直线与圆锥曲线位置关系例3.1 椭圆：离心率，椭圆的右焦点为，点,所在直线的斜率为，其中为坐标原点(1)椭圆的方程；(2)设椭圆跟过点的动直线相交于两点，当的面积达到最大时，求的方程解：(1)设，由已知可得，得.又，所以，.故的方程为.(2)当轴时不满足题意，故可设:，.将代入中得，当，即时，故，从而.点到直线的距离.的面积.设，则,，当且仅当，即时等号成立，满足，当的面积最大时，的方程或.例3.2 如图所示,双曲线：的右焦点为，点分别是双曲线两条渐近线上的点，平行于轴，
11、与垂直，与平行(为坐标原点)图3.1双曲线跟直线相交图 (1)求双曲线的方程；(2)是过双曲线一动点(其中)一直线，是直线与交点，是直线与交点.证明：无论双曲线上的动点如何移动，恒为定值，并求此定值的值解：(1)设，.根据题意，直线的方程是，直线的方程是，. 又因直线的方程是.则，.又，可得，则双曲线的方程.(2)由(1)知，直线的方程为，即直线的方程是，直线与的交点，直线与直线的交点，则又)是上一点，代入上式得，为定值例3.3 如图，抛物线：和：，是过原点的直线与抛物线，的交点，是过原点的直线与抛物线，的交点.图3.2两抛物线与直线相交图 (1)证明：;(2)过作直线(异于，)与抛物线分别交
12、于两点，设与的面积分别是与，求的值解：(1)证明：设直线的方程是，则根据 可得根据可得同理可得，.，.故，.(2) 由(1)知，同理可得，则.又由(1)知，.3.2 根据圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的最值问题例3.4如图所示，分别为椭圆：的左、右焦点，分别是双曲线：的左、右焦点，分别为椭圆，双曲线的离心率.其中，是坐标系的原点.(1)求的方程；(2)过作椭圆的不于轴垂直的弦，是的中点当直线与抛物线相交于两点时，求这个四边形面积的最小值解： (1)，即，则，于是，故的方程分别为.图3.3双曲线，椭圆与直线相交图 (2)由于不垂直于轴，且过点，则设直线的方程是，由可得.此方程的.设，则为方程的两个实
13、根，则.所以，则的中点为，直线的斜率是，的方程是，即.由可得，则，且，从而.设点到直线的距离是，则点到直线的距离也是，因此.点在直线的异侧，因此，从而.又，.四边形的面积即.而，所以只有当时，才能取最小值2.综上所述，四边形面积的最小值是2.例3.5 如图所示，在平面直角坐标系中，点到抛物线准线距离是.，抛物线上的定点为，线段是由抛物线上的任意两个动点组成，且线段被直线平分. (1) 求的值.(2) 求面积的最大值. 图3.4抛物线C与直线相交解：由题意知. 设则线段的中点是 则可得到直线的方程是由设点到直线的距离是则设的面积为 由令令 故面积的最大值是3.3 数学问题在圆锥曲线中的推广例3.6：如图所示，的内切有心圆锥曲线，其中（）.、分别是圆锥曲线与线段、切点，分别为，的交点，分为位于延长线上，则.图3.5ABC内切圆锥曲线图 证明：设点的坐标是，点坐标是，则，过点的切线方程： 由题意可知过点的两切线方程：切点弦的方程：由
