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1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛
2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 16019013 所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学万方科技学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 赵志领 2. 王京广 3. 郭涛 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 冯广庆 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错
3、误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型动态变化及数学描述
4、模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度，三维空间桌脚边缘线。针对问题二，本文建立模型设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度和长方形平板面积必须达到最小，对于任意给定的高度和圆形桌面直径确定：决策变量：（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数 :(开槽总长度)，长方形木板面积用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本
5、文建立了模型软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：圆形桌面，圆弧和矩形组合桌面，“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型；对于组合桌面，可在模型的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型的基础上改动来实现。 关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有
6、空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径
7、80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2.问题分析2.1问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子
8、的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。2.2问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。2.3问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使
9、所建立的软件设计模型易于求解。3.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响4.问题一模型的建立与求解4.1符号说明：符号符号说明第根桌腿腿长第根桌面木条的半长第根桌腿与竖直方向的夹角第根桌腿动态变化转过的角度第根桌腿底部距地面的高度桌面外接圆半径钢筋位置距桌面高度第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离第根木条开槽长度4.2模型的建立（数据单位均为）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最
10、外侧桌腿为第一根桌腿，其桌面木条的半长为 ，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）图1根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离桌腿与竖直方向的夹角钢筋位置到桌子竖直对称面距离钢筋位置距桌面高度图2图3根据图2和图3计算可以得出：第根桌面木条的半长 桌面外接圆半径第根桌腿腿长第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌腿的竖直夹角第根桌腿钢筋位置以上长度第根桌腿底部距地面的高度第根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离桌腿底部坐标为了得出每根木条的开槽长度，利用第根桌腿钢筋位置以上长度减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：4.3模型的求解根据题中所给的图
11、和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长为3，用MATLAB编程进行求解，程序见附录一通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角，制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度61.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.0590886
12、8101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二图4桌脚边缘线各点坐标参数如下表：X0.00003.7833 7.5603 9.6053 10.6861 Y2.50005.0000 7.5000 10.0000 12.5000 Z0.00002.3931 5.3657 8.1713 10.6166 X11.2054 11.4070 11.4441 11.4135 11.3740 Y15.0000 17.5000 20.0000 22.5000 25.0000 Z12.6489 1
13、4.2694 15.4976 16.3561 16.8632 表2用EXLINK导出设计加工参数：桌面外接圆半径桌腿开槽长度见下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度06.88 10.34 13.14 15.47 17.39 18.92 第8根第9根第10根20.10 20.92 21.42 表3桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根 25.57 25.04 25.04 25.25 25.53 25.81 26.06 26.25 26.36 开槽位置见下表：表44. 问题二模型的建立与求解5.1符号说明：符号符号说明长方形平板面积第根桌腿的槽长长方形木板长度长方木形板宽度桌子高度最外侧桌腿钢筋
