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1、重庆科技学院 毕业设计（论文）题 目 浅谈置换群的性质与应用 学 院 数理学院 专业班级 应数普08-2 指导教师 席高文 职称 教授 评阅教师 职称 2012年 5月 23 日注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题
2、报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文
3、）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日重庆科技学院本科生毕业设计 摘要摘 要本文旨在基于群的基本理论，如群的概念和分类、子群、单群等，研究置换群在群论中的基本性质，特别包括置换、对换、转换与置换群的相互关系等性质，进而推导出置换群的生成方法、轨道计算、型的研究、子群的性质这些重
4、要结论。特别地，作者通过研究对对称群和交错群的二元生成问题提出了某些新的结论，并对已有结论推导出了简易证明方法。最后，作者通过研究置换群在解决对称问题、不动点问题的应用实例，结合生活，提出置换群及其性质在解决实际问题上新的应用方法和更广泛的适用范围。关键词：置换群 二元生成 轨道 单群 对称II重庆科技学院本科生毕业设计 ABSTRACTABSTRACTThis article aims to be based on the basic theory of groups, such as the basic nature of the concept and classification of
5、 the group, subgroup, single group, the study of permutation groups in group theory, including the exchange, conversion, replacement and to define its own nature and the permutation group links characteristics, and thus derive the permutation group generated orbital calculations, the type of researc
6、h, the nature of the subgroups of these important conclusions. In particular, by studying the symmetric group and the alternating group, some new conclusions and has been the conclusion deduced a simple method of proof. Finally, through the study of permutation groups in solving the symmetric proble
7、m, fixed point problem of the application examples, combined with the life of the permutation group and its nature in the new applications to solve practical problems and the wider scope of application.Keywords: permutation groups；element generation；orbital；single group；symmetry重庆科技学院本科生毕业设计 目录目 录摘
8、要IABSTRACTII1 引言11.1 问题的提出11.2 置换群的历史回顾12 预备知识42.1 基本概念42.1.1 群的概念42.1.2 相关基本定义42.1.3 特殊的群62.1.4 置换群特例：对称群和交错群72.2 基本性质73 置换群的性质93.1 置换群的生成方法93.1.1 对称群的二元生成93.1.2 交换群的二元生成103.1.4 结论113.2 置换群的轨道问题123.3 置换群的型153.4 置换群的子群164 置换群的应用184.1 置换群在对称上的应用184.1.1 对称研究的历史184.1.2 几何对称184.1.3 代数对称214.2 置换群不动点性质的应用
9、235 总结255.1 结论255.2 不足之处与展望25参考文献26致 谢27重庆科技学院本科毕业设计 1 引言1 引言1.1 问题的提出置换群是变换群的一种特例，在代数里占一个很重要的地位。置换群的研究在群论历史上无疑是里程碑式的。正是利用置换群，Galois成功地解决了代数方程时候可以由根式求解的问题。有限群的研究是从置换群开始的，每一个有限群都与一个置换群同构。因此从代数结构的观点来看，而这似乎是没有区别的，然而有种种理由说明有必要对置换群进行特殊的研究。首先，由于置换群有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得在这种群里的计算比较简单。其次，置换群理论中有一些起重要作
10、用的概念（如不动点和传递性），在抽象群的理论中是没有的，在每一个置换群中，某些子群可以自然而然地被区别出来。最后，置换群不仅在数学的理论中扮演着重要的角色，也是研究几何体的对称，晶体的结构等应用数学领域所不可缺少的工具。今天，置换群已不仅在数学上，而且在物理、化学、计算机科学上都有着广泛的应用，甚至在美学和艺术领域，日益发挥着它巨大的作用。1.2 置换群的历史回顾群论的产生最早源于对代数方程求根的研究。一元二次方程的代数解法早在公元前20000年就为古巴比伦人所知道。一般三次和四次方程的求根公式也在十六世界为意大利的数学家费罗（S.Ferro,1465-1526）、塔塔利亚（Fontana,1
11、499-1557）、卡尔丹（G.Cardano,1501-1576）和费拉里（L.Ferrari）先后获得。在随后的近300年间，数学家们希望能找到五次或更高乘此的方程的求根公式，但都徒劳无功。直到1770年，拉格朗日才第一个宣布“不可能用根式解四次以上方程”。他以置换为研究“工具”，以解代数方程为“目的”，使人们的代数思维方式发生了转变，把以方程根的计算为主的研究转到方程根的置换性质的研究。群论产生的初期主要受拉格朗日思想方法的影响，但他却没能证明“四次以上方程没有根式解”这个论断。1799年，鲁菲尼在专著方程的一般理论中给出了一个证明，对置换群尽心了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概
12、念，得到了高于四次的一般方程的不可解性。并强调置换本身的研究。但他的证明是不完整的。沿着这种趋向，在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西以置换理论为研究“目的”，使其成为一门独立的研究领域，并实现了向置换群论的转变。1815年，柯西发表了关于置换群的重要文章。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母（n次）的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被法国青年数学家伽罗瓦和挪威数学家阿贝尔彻底解决，从而推动了数学的发展，更为重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新
13、的概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用。也因此可以说，阿贝尔与伽罗瓦是群论与抽象代数的创始人。利用置换群，伽罗瓦使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，成功的解决了代数方程是否可用根式求解的问题。然而，这种新的思维方式当时并未引起人们足够的重视。直到1846年刘维尔出版了伽罗瓦的手稿，他的这种思想方法才逐渐被接受，并产生了重要的影响。柯西在1844-1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限置换群，如果它的阶
14、可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在子母交换下所能取得形式值（即非数字值），并找出一个函数，使其取给定数目的值。置换群的理论（主要指伽罗瓦的工作）在1870年由若尔当整理在他的置换与代数方程之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。伽罗瓦在这方面的工作现已经发展成为代数学中一种专门的理论伽罗瓦理论。在几乎整整一个世纪，伽罗瓦的思想对代数学的发展期了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的子同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦发展的另一条路线，也是由戴德金开
