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1、高三培优班数学测试题2015-08-25一选择题：1.已知集合()A. B. C. D. 2.已知i为虚数单位，为纯虚数，则复数的模等于( )A. B. C. D. 3.经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是()A. B. C. D. 4. 一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的可能为( )A. B. C. D. 5. 已知x，y满足的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）A B C D46. 如图1，已知正方体的棱长为，动点分别在线段上.当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积等于( )正视方向图1图2 A. B. C. D. 7. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是( )A.
2、B. C. D. 8.设是一个非负整数，的个位数记作，如，称这样的函数为尾数函数给出下列有关尾数函数的结论：；，若，都有；则正确的结论的个数为（ ）A. 3 B.2 C. 1 D.09. 设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 10.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，若对任意，恒有成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：11. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件为“取到的2个数之和为偶数”，事件为“取到的2个数均为偶数”，则 12.已知
3、的二项展开式中，常数项为60，则的展开式中所有项系数之和为 （用数字作答）13.如图所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，,恒成立,则实数等于 14. 集合,，对的任一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，规定当()时，记为集合的所有这样的的平均数；则（1）时， （2） 15.已知曲线的参数方程为（为参数），在点处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 三、 解答题：16ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若b=2，求ABC面积的最大值。17. 已知数列、中,对任何正整数都有：()若
4、数列是首项和公差都是1的等差数列, 求, 并证明数列是等比数列；()若数列是等比数列,数列是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由；18.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，（）求证：（）当二面角的平面角的余弦值为时，求三棱锥的体积19.某苗木公司为一小区种植3棵景观树，每棵树的成本为1000元，这种树的成活率为，有甲、乙两种方案如下；甲方案：若第一年种植后全部成活，小区全额付款8000元；若第一年成活率不足，终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过，但没有全成活，第二年公司将对没有成活的树补种，若补种的树全部成活，小区付款8000元，否则终止合作，小区付给公司20
5、00元乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1300元()若实行甲方案，求小区给苗木公司付款的概率；()公司为获得更大利润，应选择哪种方案？20已知椭圆C：（ab0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b（）求椭圆C的离心率；（）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上21. 已知函数.()讨论函数的单调性；()若函数在内有极值求实数的取值范围；若求证:孝感高中2015届高三年级5月适应性考试数学（理科）参考答案一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，
6、只有一项是符合题目要求的。题号12345678910答案BCDCCBABAD二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11. 12. 1 13. 14. 4； 15. 5 16. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：（1） a=bcosC+csinB 由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB 在三角形ABC中，A=（B+C） sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC 由和得sinBsinC=cosBs
7、inC 而C（0，），sinC0，sinB=cosB又B（0，），B=（2）ABC的面积S=acsinB=ac由题意及余弦定理得4=a2+c2-2accos a2+c2=4+ac又a2+c22ac4+ac2acac等号当且仅当a=c时成立S=ac=因此ABC面积的最大值为18. （1） 数列的通项公式是， 2分故等式即为，两式相减可得 4分得，数列是首项为1，公比为2的等比数列 5分（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：，又，故 7分，要使是与无关的常数，必需， 10分即当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列 12分19（）证明：因
8、为，平面平面，所以平面,又，所以平面，所以, 3分又，所以,； 5分（）取的中点，因为，所以,又平面平面，所以平面, 6分如图建立空间直角坐标系，则，,设7分，设平面的法向量为，则由,即，得， 9分 由（）知平面，所以平面的法向量为,， , 11分所以 12分20.解析（1）设小区付款为事件A所以小区付款的概率为 5分（2）设甲方案的利润可能取值为：-3.-2,4,5 （千元）6分；-3-245 (千元)10分乙方案的利润0.9（千元），所以苗木公司选用甲方案的利润的均值更大.12分21.解析（）设F的坐标为(c，0)，依题意有bc=ab，椭圆C的离心率e= 3分（）若b=2，由（）得a=，椭
9、圆方程为 5分联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由=32(2k23)0，解得：k2由韦达定理得：xM+xN= ，xMxN= 7分设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x2， NA方程为：y=x+2， 9分由解得：y= 11分=1即yG=1，直线BM与直线AN的交点G在定直线上 13分22.解：() () 在上单调递增； 2分 在上递增，在，上递减，递增4分（）0x1时，由在内有解，令，6分1不妨设，则，因，所以，解得 8分证明：由或，由或，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增。9分由，得，由，得， 11分所以，因为，所以 ，13分记则,在上单调递增，所以，故 14分
