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1、勾股定理的应用教学案例银川十四中 李丽新八年级上册勾股定理的应用这节课是勾股定理一章最后一节新课，教材将其安排在学生了解了勾股定理及其逆定理之后，是为了让学生更好地体会到勾股定理及其逆定理在解决实际问题中的作用，同时也更加有利于学生空间观念的完善。八年级阶段的数学学习是比较容易出现两极分化的阶段。一方面，八年级的数学知识的学习正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的关键期，另一方面，绝大多数学生没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，个体之间的差异也较大。对于这节课中的蚂蚁爬行最短路程问题是一个曲面上的最短路程问题，是立体的、三维的，如何将三维立体图形问题转化成学生熟知的二维平面图形、利
2、用数学建模思想构造直角三角形的问题是学生在学习过程中的难点， 为解决这个难点，在教学中借助多媒体设计如下一系列探究活动：（一） 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你觉得蚂蚁会怎么爬？针对这个问题，学生兴趣浓厚，七嘴八舌就能分析归纳出所有情形：1、由A-A,再沿上底面爬到点B。2、由A-A,再沿半圆到点B。3、沿侧面由A-C，再沿弧线到B。4、直接沿侧面由A爬到B（二）若圆柱的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在上述几种情形中，你能求出蚂蚁爬行的最短路程长吗？对于第1种情形，学生可求出爬行的最短路程：由A
3、-A,再沿直径到点B。第2种情形，学生很容易求出结果。而对于第3、4两种情形，学生考虑就有了难度，因此抛出第三个问题。（三）如果蚂蚁沿圆柱侧面爬行，最短路程是多少？学生利用课前准备好的圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，以小组为单位讨论交流：你觉得哪条最短？学生在交流讨论中提出用剪刀沿母线AA剪开圆柱得到它的侧面展开图-矩形，情形3：AB是折线或曲线，而情形4: AB是曲线或线段，而根据两点之间线段最短可判断情形4中爬行的最短路程为线段AB，利用勾股定理计算即可得出结果。通过这样一系列探究活动，学生在遇到空间图形中的最短路程问题时明确了应将问题转化为平面图形上的两点之间的线段来解决，
4、学会了在实际问题中利用数学建模思想构造直角三角形解决问题。这样的探究活动对学生各种能力的培养才真正落到实处。 圆柱、正方体、长方体是学生最为熟悉的空间图形，圆柱的侧面是一个曲面，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程问题是这三种图形中较简单的，而长方体是由六个面围成的，蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程问题包含着本节课的难点，为了突破此难点先设计简单的正方体上的爬行问题。（四）如图，在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，你能画出它爬行 的最短路线 学生根据所学知识利用正方体的平面展开图快速画出最短爬行路线。（五） 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为6cm、 4 cm、 3 cm,一只蚂蚁想从盒底
5、的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 学生经过交流讨论归纳出三种爬行路线，通过运算比较后选择出最短路线，此问题又把本节课所学的知识进行了补充，开阔了学生的视野。通过这个问题的解决，学生们的数学建模思想和空间想象力达到一个新的高度。心中对于蚂蚁在立体几何体表面爬行最短路程问题的解决豁然开朗：展立体图形成平面图形，由两点之间线段最短 画出最短路径，利用勾股定理求出两点间距离。在这样的活动中，教师只以引导者的身份出现，给学生提供广阔的思维空间，引导学生动手操作，主动探究、主动思考，自己去发现规律，亲身体验“活生生”数学思维活动，使学生主动参与到问题的发现和解决过程之中，学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习，使学习过程成为一个再探索，再发现的过程。
