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1、课 程 报 告题目： 冰块融化模型 组 长：李桂林 2 组 员：刘文婷 2 刘姣姣 2 王佳佳 2 院 （系）： 文理学院 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 岳宗敏 2016年 5月 16日 目录摘要1问题提出：1模型假设：1符号说明：1建立模型2模型的应用3模型的检验4模型的优缺点5冰块融化模型摘要据资料显示：地球上的水资源有97%被盐化，仅有3%是淡水资源，且大部分是主要分布在南北两极地区的固体冰川，众所周知，水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的重要物质资源之一。而在一些淡水资源非常匮乏的地方，各种产水方式应运而生，就比如建议之一是把冰山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的
2、冰块来提供淡水。而融化过程中，冰块融化的体积又会随着时间的流逝发生什么样的改变呢？而冰块融化中这种改变又会受到哪几种因素的制约呢？抛开几种复杂因素，例如人为因素,温度和湿度等,本文通过建立模型研究了水资源短缺以期用融化的冰块来提供淡水的问题。问题提出：美国的加利福尼亚州存在较严重的干旱问题，因此总在寻找着新的水资源。建议之一是把冰山从极地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰块来提供淡水。我们把冰块设想成巨大的立方体（或长方体、棱锥体、等具有规则形状的固体），并且假定在融化过程中冰块保持为立方体不变，现在的问题是，融化这样的冰块需要多长时间？模型假设：我们把冰块设想成巨大的立方体（或长方体
3、、棱锥体、等具有规则形状的固体）假定在融化过程中冰块保持为立方体不变。冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比。符号说明：立方体的边长为：体积表面积: 为常数，由很多因素决定，诸如周围空气的温度和湿度以及是否有阳光等等。符号注释：这里和、均为的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比（注：由于融化现象发生在冰块的表面，故改变表面积的大小叶能改变冰的融化速度）。至此我们得到 根据上述假设，比例因子k是常数，负号表示体积不断缩小，它依赖于很多因素，诸如周围空气的温度和湿度以及是否有阳光等等。建立模型在这个问题里面，我们更想知道的是：要融化特定百分比的冰块，需要多少时间？为此，我们在此再
4、提出一组假设条件。设在最前面的一个小时里冰块被融化的掉1/4的体积（我们也可以用字母n%来代替特定值，例如r小时融化掉n%体积的冰等），从而的得到如下数学问题： 现在要求使的值。 利用复合函数求导公式，对两边关于时间求导得 令，我们可以得到 上述表示立方体的边长以每小时的常速度率在减少，因此若立方体边长的初始长度为，一小时后为，两小时后为上述关系告诉我们，故冰块全部融化的时间为使得的值，从而有 以为例可得、 所以 这说明，如果在1小时里有1/4体积的立方体冰块被融化，那么融化掉其余部分冰块所需时间约为11小时。模型的应用1. 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1
5、/4， （1）从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，一小时大约融化了1/4 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）？ （2） 如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？解:设立方体的边长为：s,体积V:V=s3,表面积S：S=6s2由于V和S、s均为t的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块表面积成正比,第一步:根据体积的变化率正比于冰块的表面积列出关系式:因为体积是单调下降的,故的右端加负号第二步:对两边关于时间求导得所以,解得:,令,得,.第三步:因此在时,冰块边长,根据题设第一小时大约融化了1/4,可列出,得出,所以.第四步:故冰块全部融化,即，又由和
6、得出：解：中所需要的步骤同第题中第一步，第二步，第三步相同，第四步： ， 当运输时间需要2.5小时： 由得:冰块全部融化的时间为使得：又由（1）题第三步中得： 运输时间为2.5小时时，运输途中冰块大约会融化掉原体积的。模型的检验目前有一块体积为1立方米的冰块，在温度不变的情况下手工计算体积随时间的变化情况：融化时间/h012345剩余体积10.75000.54560.38220.25510.1600678910110.09200.04670.01940.00550.0006 0.0000实际测量的结果：融化时间/h012345剩余体积10.72990.53280.37130.26580.1557678910110.09320.04320.02010.00490.000100.0000通过对比上面两个表格，此模型计算出的数据与实验测得的数据误差最大为0.0201。因此模型可以使用。模型的优缺点优点：1.建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况即人类的饮用水对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。缺点：1.没有足够的实际数据对模型进行检验，无法评估模型的准确性。2.模型复杂因素较多，不能对其进行全面的考虑，造成与实际有一定的不相符之处。3.冰块融化模型处于一种理想化的。
