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1、广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 导数及其应用一、选择题、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域的奇函数，当时恒成立，若，则A B C D 答案：A2、（广州市2013届高三上学期期末）已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是 A . B C D 答案：B3、（增城市2013届高三上学期期末）函数的图像在点处的切线方程是 答案：4、（中山市2013届高三上学期期末）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 。答案：4xy305、（中山市2013届高三上学期期末）函数的图象如图所示，则函数的零点所在的区间是（ ）A B C（1，2） D 答案：B6、（江门市
2、2013届高三上学期期末）若直线与曲线相切，则常数A B C D答案：C二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）二次函数满足，且最小值是（1）求的解析式；（2）实数，函数，若在区间上单调递减，求实数的取值范围解：（1）由二次函数满足设，则又的最小值是，故解得； 4分（2） 6分由，得，或，又，故 7分当，即时，由，得 8分的减区间是，又在区间上单调递减，解得，故（满足）； 10分当，即时，由，得的减区间是，又在区间上单调递减，解得，故（满足） 13分综上所述得，或实数的取值范围为 14分2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是
3、它的极值点 (1)求常数a,b,c的值； (2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围； (3)求函数的单调递减区间，并证明：解：（1）由知，的定义域为, 1分 又在处的切线方程为，所以有 , 2分 由是函数的零点，得, 3分 由是函数的极值点，得， 4分 由，得，. 5分 （2）由(1)知， 因此，所以 . 6分 要使函数在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而 ，所以函数最多有两个极值. 7分 令. （）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即 在内有且仅有一个根，又因为，当 ，即时，在内有且仅有一个根 ，当时，应有，即，解得，所以有. 8分.（）当函数在内有两个
4、极值时，在内有两个根，即二次函 数在内有两个不等根，所以 解得. 9分 综上，实数的取值范围是. 10分（3）由，得， 令，得，即的单调递减区间为. 由函数在上单调递减可知， 当时, ，即， 11分 亦即对一切都成立， 亦即对一切都成立， 12分 所以， ， ， ， 13分 所以有 ， 所以. 143、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数，（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立解析：（1）， -2分令，则，当时，是上的增函数，故，即函数是上的增函数 -6分（2），当时，令，则， -8分故，原不等式化为，即，-10分令，则，由得：，解得，当时，；当时，故当
5、时，取最小值，-12分令，则故，即因此，存在正数，使原不等式成立-14分4、（广州市2013届高三上学期期末）已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行.（1）求的解析式；（2）是否存在N，使得方程在区间内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（1）解法1：是二次函数，不等式的解集是， 可设，. 1分 . 2分 函数在点处的切线与直线平行， . 3分 ，解得. 4分 . 5分 解法2：设，不等式的解集是，方程的两根为. . 2分. 又函数在点处的切线与直线平行， . . 3分由,解得,. 4分. 5分 （2）解：由（1）知，方程等价于方程. 6分 设，则. 7
6、分 当时，函数在上单调递减； 8分 当时，函数在上单调递增. 9分 ， 12分 方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间 内没有实数根. 13分 存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数（1）当时，求的极小值；（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；（3）设，求的最大值的解析式解：（1）1分当时，时， 2分的极小值是 3分（2）法1：，直线即，依题意，切线斜率，即无解4分 6分法2：，4分要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分（3）因故只要求在上的最大值. 7分当时， 9分当时，（）当在上单调
7、递增，此时 10分（）当时， 在单调递增；1当时，；2当（）当（）当13分综上 14分6、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数，其中若是的极值点，求的值；若，恒成立，求的取值范围解：2分，因为是的极值点，所以3分，解得4分，（方法一）依题意，5分。时，恒成立6分且时，由得8分设，9分，当时，当时10分，所以，12分所以，当且时，从而13分，综上所述，的取值范围为14分（方法二）由5分，若，则，由得7分，且当时，当时8分，所以，10分若，由得或11分，取为与两数的较大者，则当时12分，从而在单调减少，无最小值，不恒成立13分。（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若，取11分，不恒成立
8、13分。说明二：若只讨论一个特例，例如，给1分）综上所述，的取值范围为14分7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）当时，若存在一个与有关的负数M，使得对任意时，恒成立，求M的最小值及相应的值。8、（汕头市2013届高三上学期期末）设函数，（注：e为自然对数的底数）(1)当时，球的单调区间；(2)(i)设是的导函数，证明：当时，在上恰有个使得(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立解：(1)当时， 1分，令得：；令得：所以函数的减区间是；增区间是 3分(2)(i)证明： 4分，且，令得：；令得：则函数在上递减；在上递增 6分，又所以函数在上无零点，在上有惟一零点因此在上恰有一个使得. 8分(ii)若，则，对恒成立，故函数在上是增函数，因此函数在内单调递增，而，不符题意。 10分，由(i)知在递减，递增，设在0，2上最大值为M，则，故对任意的，恒有成立等价于， 12分由得：，又，。 14分9、（增城市2013届高三上学期期末）圆内接等腰梯形，其中为圆的直径（如图） OABCD（1）设，记梯形的周长为，求的解析式及最大值；（2）求梯形面积的最大值解：（1）过点作于 , 则
