鸽巢问题教学设计.doc

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1、学段：小学学科：数学鸽巢问题教案 姓 名：赵 利 芹单 位：卫辉市李源屯镇大李湾完小时 间：2015年4月鸽巢问题【教学内容】 六年级下册第五单元数学广角 鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。 【设计理念】兴趣是最好的老师，本课让学生们从游戏中开始学习，为理解鸽巢原理埋下伏笔，接着通过创设情境和实际操作，使学生经历“鸽巢问题”的探究过程，感受数学的魅力，并对一些简单的实际问题“模型化”，从而在用“鸽巢原理”解决问题的过程中，促进逻辑推理能力的发展，培养分析、推理、解决问题的能力以及提高学习数学的兴趣，同时也使学生感受到数学思想方法的奇妙与作用，在数学思维的训练中，逐步形成有序地、严密地

2、思考问题的意识。【教材内容分析】鸽巢问题是人教版六年级下册第五单元数学广角的教学内容。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”。学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢原理”解决问题。 “鸽巢原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“抽屉原理”。 “鸽巢原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三本书放进两个抽屉，总有一个抽屉里至少有两本书。这样的道理对于小学生来说，也是很容易理解的。但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，

3、并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。课本用直观的方式，介绍了“抽屉原理”的两种形式。例1介绍的是最简单的“鸽巢问题”把n+1个物体任意分别放进n个空抽屉里（mn，n是非0自 然数），那么总有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2介绍了“鸽巢问题”更为一般的形式：要把m个物体放进n个抽屉里(mn)，如果mn=ka（a0），那么总有一个抽屉至少放（k+1）个物体。 【学情分析】本节课授课对象是小学六年级的学生，六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理

4、结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。【教学目标】知识技能：通过操作、观察、推理等活动，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”的知识解决简单的实际问题。数学思考与问题解决：1. 在“鸽巢问题”的探究过程中，使学生逐步理解和掌握“鸽巢原理”，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。2. 体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。情感态度：通过对“鸽巢原理”的灵活运用，感受数学的神奇魅力，体会数学的价值，激发学生的学习兴趣。 【教学重点】 1经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。 2. 理解“总有”和“至少”的含义。 【教学难点】理解“鸽巢原

5、理”,并对一些简单的实际问题加以“模型化”。【教学准备】 课件、每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。【教学过程】 一、 通过魔术，切入主题师：近两天老师新学了一个魔术，特别想表演给大家，可以吗？都认识这个吧，对，扑克牌，我现把两张王牌取出，知道剩下的扑克牌有几种花色吗？生：四种。师：现我就用剩下的牌给大家表演这个魔术，需要5位同学的配合，谁愿来？（学生上来后）师：你们每人随意抽取一张牌后站好，不许给其他人看。（站好之后）同学们，见证奇迹的时刻到了：他们至少有2人拿了同样的花色，你们信吗？学生验证（理解“至少”的意思）。师：如果我让他们每人再重新随意抽取一张，我还敢肯定：他们至少有2人拿了同样花色

6、的牌，也就是说有一种花色的牌至少有两个人拿着，你们相信吗？师：老师为什么能做出准确的判断呢？是因为这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个问题鸽巢问题。（设计意图：从学生喜欢的魔术开始，让学生初步体验抽象的“鸽巢问题”，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习热情。）二、 通过操作，探究新知 1.学习例1我们用笔和杯子来研究这个问题，教师用投影仪展示问题：把3支笔放进2个杯子中，可以怎么放？有几种不同的放法？（设计意图：从最简单的数据开始，有利于学生观察、理解，能调动所有的学生都积极参与进来。）师：请同学们实际放放看，看有什么发现。（师巡视，了解情况，个别指导）师：谁能说说你是怎么

7、放的？请你到前面边演示边说给大家听。 师：还有不同的放法吗？生：没有了。老师用幻灯片展示各种情况。师：孩子们，一起来观察这所有的放法，想一想，5 个人抽取4种不同花色的牌，不管怎么抽，总有一种花色的牌至少有两个人抽着，那么3支笔放进2个杯子，不管怎么放，你有什么发现?生：不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。师：是这样的吗？谁还能再说说。（把发现板书在黑板上。）师：那依此推想下去，把4支笔放进3个杯子里，可以怎么放呢？有几种不同的放法？大家再放放看，边放边把各种情况记录下来，看看有什么发现？师：还有不同的放法吗？（没有）那同学们再来观察，把4支笔放进3个杯子里，不管怎么放，你有什么发现？老师

8、用幻灯片展示各种情况。生：不管怎么放，总有一个杯子里至少有2支笔。师:“总有”是什么意思?生：一定有的意思。师:“至少”是什么意思?生：最少的意思。 师：刚才我们把所有的摆放方法一一列举出来后，得到了这样的结论。大家能不能找到一种更简便的办法，只摆放一种情况也能得到这个结论呢？ （设计意图：“鸽巢问题”对学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子里至少放进2支笔”这名话，通过具体操作，理解“总有”、“至少”这两个词，让学生初步经历“数学证明”过程，训练学生的逻辑思维能力。） 学生思考组内交流汇报 师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下? 来到前面边演示边说。生:我们发现如果每个杯子里放1支笔,最多

9、放3支,剩下的1支不管放进哪一个杯子里,总有一个杯子里至少有2支笔。 师:是这样的吗？谁和他的想法是一样的？这种分法,实际就是先怎么分的? 生：平均分。师:为什么只用平均分这一种方法，就能证明这个结论呢？生：平均分，每个杯子里分得1支笔，余下的1支，不管怎么放进哪个杯子，一定会出现“总有一个杯子里至少有2支”。师：要想保证这个杯子里数量最少，就要怎么办？（平均分），让每个杯子里都有笔。如果有空的杯子，还能保证这个杯子里的笔最少吗？（不能）所以我们用平均分的方法来证明刚才的结论。那如果用算式，该怎么表示？生：43=11师：剩余这一支笔怎么办呢？这样就保证总有一个杯子里一定至少有2支。咱们真是了不

10、起的孩子，这么快就想到了这样一种简便的方法来证明这个结论，我们再来一起看看刚才同学们分的过程。学生观看大屏幕，老师重新演示平均分的过程。师：用这种方法，6支笔放进5个杯子里会怎么样？学生回答并说明理由。师：把7支笔放进6个杯子里呢?把8支笔放进7个杯子里呢?大家回答这么快，是不是发现这其中的规律了？生：笔的支数比杯子多1的话，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2支笔。师: 其他同学发现了吗？同桌互相说一遍。把100支笔放进99个杯子里会有什么结论？一起说。（设计意图：在学生自主探索的基础上，引导学生得出一般性结论，发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）2学习例2。 1出示题目:把7本书放

11、进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?活动要求：a.每人先独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用桌上的7本书，要有分工，并要全面考虑问题。(谁分书，谁当抽屉，谁记录等) (师巡视了解各种情况)师： 哪个小组愿意把你们的发现和大家一起分享？学生回答，通过学生回答列出算式：73=21师： 10本书放进3个抽屉里呢？ 板书： 103=31师：到这里，大家观察一下，你有什么发现？生1：“总有一个抽屉里至少有3本”，只要“商+1”就可以得到了。生2：“总有一个抽屉里至少有3本”，只要“商+余数”就可以得到了。师：有不同的意见，谁的对还是都不对，我们再来看

12、一道题：如果把8本书放进3个抽屉里呢？生3:“总有一个抽屉里至少有4本”，只要用83=22,用“商+2”就可以了。 生4：不同意!先把8本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放2本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是4本书。 师:到底谁的对呢?在小组里进行交流讨论一下。可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有3本书,不是4本书。 b.把8本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放2本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有3本书”。 c.我们组的结论是8本书平均分放到3个抽屉里,“总有

13、一个抽屉里至少有3本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。（设计意图：通过学生的辩论，从而认识到余数也要平均分，而余数小于除数，所以只会再多一个。） 师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢? 生：书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。 师：如果把8本书放进4个抽屉里呢？还是总有一个抽屉里至少有商+1也是就2+1=3本书吗？生：不是。师：今天我们学习的题目都有这样一个规律：要把m个物体放进n个抽屉里(mn)，如果mn=ka（a0），那么总有一个抽屉至少放（k+1）个物体。（设计意图：这一环节，使学生更好理解把物体

14、尽量多地“平均分”给各个抽屉，某个抽屉至少有书的本数是除法算式中的商加1，使学生从本质上理解“抽屉原理”，也就是“鸽巢问题”。）教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,它是组合数学中的一个重要原理，最早是由德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例：一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理又称为“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用，它的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。就像

15、刚才老师表演的魔术，大家现在能解释一下它的原理吗？下面我们应用这一原理解决一些问题。 三、 知识应用15只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 211只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？35个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？指名学生汇报解答思路及过程。 答案：（1）因为53=1（只）2（只） 1+1=2(只) 所以总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。 （2）因为114=2（只）3（只） 2+1=3(只) 所以总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。 （3）因为54=1（人）1（人） 1+1=2(人) 所以总有一把椅子上至少坐2人。 四、 课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？【板书设计】 鸽巢问题 笔 杯子 总有一个杯子里至少有 商+1 3 2 24 3 = 11 26 5 = 11 27 6 = 11