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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有个变量的二次齐次函数：称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：令，则，且为对称矩阵。由于对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。例1 设 试求二次型矩阵. 解 , , , , , .于是得 ，例2 已知三阶矩阵和向量,其中 , .求二次型的矩阵. 解 由于不是对称矩阵,故不是二次型的矩阵.因为 ,故此二次型的矩阵为 .二、线性变换 1 标准形定义：形如的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。2 线性变换定义： 关系式称为由变量到变
2、量的一个线性变量替换，简称线性变换。 矩阵称为线性变换的矩阵。 记 ，则线性变换可用矩阵形式表示为：若，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。，其中，而若线性变换是非退化的，便有：三、矩阵的合同 1定义：设，为阶方阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同。 容易知道：二次型的矩阵与经过非退化线性变换得到的矩阵是合同的。 2 合同的性质 反身性：任一方阵都与它自己合同 对称性：如果方阵与合同，那么也与合同 传递性：如果方阵与合同，与合同，那么与合同3 定理：若矩阵与合同，则与等价，且。 4 定理：任何一个实对称矩阵都合同于一个对角阵（是以的个
3、特征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵，使得。化二次型为标准形一、正交变换法 定理：任给二次型，总有正交变换使化为标准形：（其中是对称矩阵的特征根）例：求一个正交变换，化二次型为标准形。解：二次型的矩阵为：由，求得的特征根为：，特征根对应的特征向量为：；特征根对应的特征向量为：显然与都正交，但不正交。 正交化：取，再将单位化，得于是正交线性变换为：使原二次型化为：注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型，也可用配方法找到满秩变换，化二次型为标准形。1二次型中含有平方项例：化二次型为标准形，并求出所用的变换矩阵。解令，即 令，则，所求的满秩变换为，即
4、，则原二次型化为标准形：2二次型中不含平方项例：用配方法化二次型为标准形，并求出所用的满秩线性变换。解：令，则原二次型化为：再按前例的方法有：令，则原二次型化为：其中的满秩变换为两变换的合成，即：由第一次变换得：由第二次变换得：所以有合成的满秩变换为：即三、初等变换法 由于任一二次型都可以找到满秩线性变换将其化为标准形，即存在可逆矩阵，使为对角阵；由于可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使。则，所以 表示对实对称矩阵施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为 例：用初等变换法化二次型为标准形，并求出相应的满秩线性变换。 解：
5、二次型的矩阵：， 所以， 原二次型化为惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式： 再令线性变换：，则原二次型化为： 定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数称为二次型的正惯性指标，负项个数 称为二次型的负惯性指标，是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型都可以经过满秩变换化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵，都存在满秩矩阵，使，称为的（合同）规范形。定理：实对称矩阵与合同的充分必
6、要条件是与有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵; (3)两个实对称矩阵合同的充要条件 有相同的秩,有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性1、正(负)定二次型的概念定义：设实二次型，若对任意不全为零的实数，总有，则称为正(负)定二次型，并称对称矩阵为正(负)定矩阵，记作。定义：若对任意不全为零的实数，总有，则称实二次型为半正(负)定二次型，其矩阵为半正(负)定矩阵。2、判定方法定理：若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）的个特征值全为正；（3）的标准形的个系数
7、全为正；（4）的正惯性指数为；（5）与单位矩阵合同（或为的规范形）; (6) 存在可逆矩阵，使得;(7) 的各阶顺序主子式均为正，即。定理：若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）是负定二次型（或A是负定矩阵）；（2）的个特征值全为负；（3）的标准形的个系数全为负；（4）的负惯性指数为；（5）与负单位矩阵合同（或为的规范形）; (6) 存在可逆矩阵，使得;(7) 的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即。 1、判定实二次型是否正定。解：，因，所以实二次型是正定的。2、设二次型，试问为何值时，该二次型是正定的？解：因二次型的矩阵为：，为使所给二次型正定，的各阶顺序主子式
8、应大于零，从而有：，由得：所以当时，所给实二次型是正定的3、二次型，则的正惯性指数为？4、三阶的实对称矩阵的特征值为,则二次型 的规范形为 分析 实对称矩阵可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型就化为标准形.解 由已知条件,二次型的标准形为,故其规范形为.5、任何一个阶满秩矩阵必定与阶单位矩阵( ). 合同相似等价以上都不对 解 任一个阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为阶单位矩阵,故阶满秩矩阵都与阶单位矩阵等价. 只有单位矩阵与单位矩阵相似. 只有正定矩阵与单位矩阵合同.6、设,则与（ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似.解 选(A)
9、.为实对称矩阵且的特征值为.7、，则（ ）（A） A与B即合同又相似（B） A与B合同而不相似（C） A与B不合同而相似（D） A与B即不合同也不相似解：（B）B的特征值1，1，0，特征值为，即3，3，0A与B特征值不相同，但正、负性都一样。8、，则在实数域上与A合同的是（ ）（A） （B） （C） （D）解：（D），特征值为-1，3，特征值为-3，-1，特征值为3，1，特征值为1，3，特征值为3，-19、已知实二次型经正交变换x=Py可化标准型，则【详解】二次型所对应矩阵为标准型所对应矩阵为根据题设知A，B为相似矩阵，所以A，B的特征值相同，可见A的三个特征值为6,0,0.而可见故有10、已知二次曲面方程可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程,求,的值. 解 二次型的矩阵为 ,原二次型的矩阵为 .由题意,这两个矩阵相似.所以有,即,解得;再由,得.11、已知二次型的秩为2.（1）求参数及此二次型对应矩阵的特征值.（2）指出方程表示何种曲面.解 (1) 二次型的矩阵.由.又的特征多项式,则的特征值.(2)二次型在某一正交变换下的标准形,则表示椭圆柱面.12、设是阶正定阵,是阶单位阵,证明:的行列式大于1.证 设的特征值为,则的特征值为.因是正定阵,所以,所以的特征值,于是 .专心-专注-专业
